sanghamhoc

Giả sử $\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}=x(x\in Z^{+})$

$\Rightarrow 4+3x\sqrt[3]{4-n}=x^{3}$ 

Do x nguyên nên $\sqrt[3]{4-n}$ nguyên

$\Rightarrow \frac{x^{3}-4}{3x}\in Z$

$\Rightarrow x\in\begin{Bmatrix} 1;4 \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow n\in \begin{Bmatrix} 5 \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \frac{x^{3}-4}{3x}\in Z$

$\Rightarrow x\in\begin{Bmatrix} 1;4 \end{Bmatrix}$ sao ra được 2 cái 1;4 vậy ạ? Anh làm rõ chỗ này giùm e với 

Mình có cách này không biết có được không

Ta có : VT>0 -> VP>0 $\rightarrow y> 0$

Từ điều kiện của 2 căn thức trong PT 1 ta có $\left\{\begin{matrix}-1\leq x\leq 1 & & \\ 0< y\leq1 & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow xy\leq 1$

 $PT(2)\Leftrightarrow$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{2}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}=\frac{4}{1+\sqrt{xy}}$

Với mọi $xy\leq 1$ , 

Ta có BĐT phụ sau $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\leq 0$ (đúng do $xy\leq 1$ )

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có $\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}$

$\rightarrow PT(2) VT^{2}\leq VP^{2}\rightarrow VT\leq VP$ dấu =xảy ra $\rightarrow$  x=y=1 

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ Chị ơi cái này cm sao

Dạ thế còn ý tính min theo a,b,c thì sao ạ ?

Áp dụng bđt AM-GM thôi

Anh chỉ rõ cho em được không...e không rõ cái này lắm

Vui lòng để lại phản hồi cho từng bài mà mình đã đưa ra Hint nhen!

 

PT thứ nhất có thể xem như PT bậc hai theo ẩn $t=\sqrt{x^2+2}$. Hãy thử tính $\Delta.$

 

Nhận xét về phần trước căn và trong căn có gì đặc biệt..., nghĩa là tìm mối liên hệ giữa $A, B $ trong $A\sqrt{B}$. Từ đó giúp ta có cách giải.

 

 

 

 

Bài 2:

PT thứ nhất là PT thuần nhất... thử "so sánh" VT và VP!

anh ơi ở bài 2 : pt đầu tiên e giải được x=y rồi tiếp pt thứ 2 thay vào làm sao ạ ?