sanghamhoc

Mình có cách này không biết có được không

Ta có : VT>0 -> VP>0 $\rightarrow y> 0$

Từ điều kiện của 2 căn thức trong PT 1 ta có $\left\{\begin{matrix}-1\leq x\leq 1 & & \\ 0< y\leq1 & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow xy\leq 1$

 $PT(2)\Leftrightarrow$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{2}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}=\frac{4}{1+\sqrt{xy}}$

Với mọi $xy\leq 1$ , 

Ta có BĐT phụ sau $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\leq 0$ (đúng do $xy\leq 1$ )

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có $\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}$

$\rightarrow PT(2) VT^{2}\leq VP^{2}\rightarrow VT\leq VP$ dấu =xảy ra $\rightarrow$  x=y=1 

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ Chị ơi cái này cm sao

Giải hệ phương trinh:

$\left\{\begin{matrix} 1+\sqrt{1-y^{2}}=y(1+2\sqrt{1-x^{2}})\\ \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} \end{matrix}\right.$

Câu 1 Cho p là số nguyên tố lẻ, cm : $\sum_{k=1}^{p} C _{p}^{k} C_{p+k}^{k}-(2^{p}+1)\vdots p^{2}$
Câu 2: Cmr $\forall$ số tự nhiên n, phân số sau đây tối giản : $\frac{21n+4}{14n+3}$
Câu 3:$B=\frac{1}{630}x^{9} -\frac{1}{27}x^{7}+\frac{13}{30}x^{5}-\frac{82}{63}x^{3}+\frac{32}{35}x$
Cmr $B\in Z \forall x\in Z$

Câu 4: Cmr với mọi số nguyên a;b
(3a+5b;8a+13b)=(a;b)

 Tìm số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số biết rằng chia cho 7 dư 2, bình phương của nó chia 11 dư 3

Tìm số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số biết rằng chia cho 7 dư 2, bình phương của nó chia 11 dư 3

Cho các số thực dương a,b,c thỏa : $2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) + c(\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}})=6$
Tìm Min: P= $\frac{bc}{a(2b+c)}+ \frac{ca}{b(2a+c)}+ \frac{4ab}{c(a+b)}$

Tìm nghiệm nguyên dương thỏa mãn :  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

Ta có:$ \frac{n-1}{n!}=\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}$
$\Rightarrow \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+.... + \frac{n-1}{n!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=1-\frac{1}{n!}<1$
Vậy ta có đpcm

 Cảm ơn bạn rất nhiều  

 Cmr : $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+.... + \frac{n-1}{n!} <1$