Dragon ball

Giả sử $c=min{a;b;c}$ . Ta có bất đẳng thức quen thuộc :

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{a+b+2c}}$

Áp dụng $Mincowsky$ ta có :

$\sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{48b}{a+c}}\geq \sqrt{4+48(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})^{2}}\geq \sqrt{4+48.\frac{4(a+b)}{a+b+2c}}=2\sqrt{1+\frac{48(a+b)}{a+b+2c}}$

Ta quy về chứng minh

$2\sqrt{1+\frac{48(a+b)}{a+b+2c}}+\sqrt{1+\frac{48c}{a+b}}\geq 15$

Đặt $\sqrt{1+\frac{48c}{a+b}}=1+4t$

Từ giả thiết ta có : $0\leq t\leq 1$ $;\frac{2c}{a+b}=\frac{t+2t^{2}}{3}$

$\Rightarrow 1+\frac{48(a+b)}{a+b+2c}=\frac{2t^{2}+t+147}{2t^{2}+t+3}$

Do đó bất đẳng thức viết lại thành

$\sqrt{4+\frac{2t^{2}+t+147}{t+2t^{2}+3}}\geq 7-2t$

$\Leftrightarrow 4t(2t-9)(t-1)^{2}\geq0$

Đúng do $0 \leq t \leq 1$

lần sau anh đăng bài vào 1 Topic riêng nhé để như này người ta tra bài khó khăn lắm

Thân !!!

 

Bạn nói rõ hơn cái dòng đầu tiên chứng minh như thế nào vậy, mình cảm ơn trước