royal1534

 

Đóng góp Topic
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhọn. Vẽ BM vuông góc với AC. CM $\frac{AM}{MC}=\frac{2AB^{2}}{BC^{2}}-1$
Bài 11: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. CM $AB^{2}+AC^{2}=2AM^{2}+\frac{BC^{2}}{2}$
Bài 12: Cho tam giác ABC có D nằm giữa B và C. CM: $AB^{2}DC+AC^{2}BD-AD^{2}BC=BC.DC.BD$
Bài 13: Cho hình vuông ABCD cạnh $3cm$, lấy M trên BC.Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt AB kéo dài tại Q, BF cắt CQ tại I. Cho CM=$1cm$. Tính BI,CI
[spoiler]Chúc Topic ngày càng phát triển

Bài 10.
Trên Tia đối tia AC lấy H sao cho AH=AC
Ta có AH=AC=AB
$\Rightarrow \Delta HBC$ vuông tại B có BM vuông góc AC 
$\Rightarrow BC^{2}=CM.CH=CM.2AC=CM.2AB$
$\Rightarrow 2\frac{AB^{2}}{BC^{2}}-1=2\frac{AB^{2}}{CM.2AB}-1$
                                   $ =\frac{AB}{CM}-1$
                                    $=\frac{AC-CM}{MC}$
                                    $=\frac{MA}{MC}$
Hình:"http://i.imgur.com/ieWqnBs.png"/>

 

Mình biết là trên diễn đàn đã có một TOPIC riêng về ôn thi HSG năm học $2015-2016$ nhưng ở TOPIC đó các bài chủ yếu là phương trình vô tỉ,bất đẳng thức,... còn các bài hình học thì đã hoàn toàn ''lép vế ''.Phân môn hình học cũng là phân môn quan trọng trong thi HSG nên mình lập ra TOPIC này để các bạn cùng mình trao đổi những bài hình mà bản thân còn băn khoăn,phục vụ cho các cuộc thi HSG,chuyển cấp,chuyên...năm nay.Mong các bạn thảo luận sôi nổi 

Mình xin bắt đầu trước 

Bài 1:Cho $\Delta ABC;\widehat{A}=90^{\circ},AH\perp BC,HE\perp AB,HF\perp AC$.CMR

a)$AE.AB=AF.AC$

b)$\Delta AEF\sim\Delta ACB$

c)$BC^{2}=3AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}$

d)$\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}$

e)$AH^{3}=BC.BE.CF$

f)$BE.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$

g)$\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$

 

 

g,$Ta có BE=BHcosB=ABcos^{2}B=BCcos^{3}B$

$\rightarrow BE^{2}=BC^{2}cos^{6}B$

$\rightarrow \sqrt[3]{BE^{2}}=cos^{2}B\sqrt[3]{BC^{2}}$

Tương tự $\sqrt[3]{CF^{2}}=cos^{2}C\sqrt[3]{BC^{2}}$

                                            $=sin^{2}B\sqrt[3]{BC^{2}}$

Suy ra $\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}(sin^{2}B+cos^{2}B)=\sqrt[3]{BC^{2}}$

Chứng minh bị lỗi do không thể kết luận $a\geq2$ bởi $x,y$ có thể âm.

Spoiler

Không lên có $2$ ngày mà nhộn gớm

đã check lại 

Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $

Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$ 

Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 

Bài 65:Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng

$\frac{2a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq a+b+c$

Bài 56:Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x,y là các số thực khác  0

 $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

 

Bài này đặt ẩn cho dễ

                   $\Leftrightarrow (a-2)(a-1)\geq 0$ (1)

Ta có  $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 2$ nên $a^{2} \geq 4$ 

$\rightarrow$ $a\geq 2$ hoặc $a\leq -2$ 

$\rightarrow$ (1) đúng 

$\rightarrow$  ĐPCM

Ta có $\sqrt{a}+\sqrt{b}> \sqrt{a+b}(SGK)$

Ta có $\sqrt{1+(2m-1)^{2}}+\sqrt{4+16m^{2}}> \sqrt{5+4m^{2}-4m+1+16m^{2}}=\sqrt{20m^{2}-4m+6}. Have: 20m^{2}-4m+6-1-(2m+1)^{2}=20m^{2}-4m+5-4m^{2}-4m-1=16m^{2}-8m+4\geq 0\Rightarrow đpcm$

Bài này có 1 cách khá hay.Đó là dùng đồ thị đường thẳng 

Bài 61:Tìm $x,y,z$ nguyên thỏa: 

$4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+4$

Bài 62:Cho số thực m.Chứng minh:

$\sqrt{1+(2m-1)^{2}}+\sqrt{4+16m^{2}}>\sqrt{1+(2m+1)^{2}}$

Bài 55:Gọi a,b,c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

 Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

 

Bài 50:Giải Phương Trình:

$a,\sqrt{x^{2}-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}=3$

$b,\sqrt{5x^{2}+3x+2}+\sqrt{5x^{2}+3x-1}=3$

$c,\sqrt{4x^{2}+5x+1}-\sqrt{4x^{2}-4x+4}=9x-3$

$d,\sqrt{2x^{2}+4x+6}+\sqrt{x^{4}-2x^{2}+10}=4-2x-x^{2}$

$e,\sqrt{x-1}+\sqrt{x-9}=x^{2}-10x+29$

$k,\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x$

$i,3\sqrt{x+1}+7\sqrt{x-1}=8x-2$

Bài 51:Chứng minh tồn tại một $bội$ $số$ của $2003$ có dạng: $20042004...2004$

Bài 52:Cho các số tự nhiên $n$ và $n^{2}$ có tổng các chữ số bằng nhau Tìm số dư của n khi chia cho $9$

Bài 34:(Hình học):Cho (O) đường kính AB và bán kính OC sao cho $\angle BOC$>90 lấy D,E thứ tự trên các cung BC,CA(D khác B và C, E khác C và A).Gọi G và K lần lượt là hình chiếu của E và D trên OC.F và H lần lượt là hình chiếu của E và D trên AB

Chứng minh: Cung (GEF của đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác GEF)=Cung (KOH của đường tròn ngoại tiếp tam giác KOH)

Tiếp tục với 2 bài bất đẳng thức   

Cho $a,b,c>0$.$ab+bc+ca=1$

Bài 27:a,Tim $Min$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

b,Tìm $Min$ $a^{2}+b^{2}+2c^{2}$

Bài 20: a)Tìm x biết $x^{3}+5x^{2}+3x-9>0$