Đến nội dung

royal1534

royal1534

Đăng ký: 09-07-2015
Offline Đăng nhập: 20-12-2023 - 20:00
****-

#584539 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi royal1534 trong 23-08-2015 - 23:37

Mọi người giải hộ em bài bđt. Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.  Chứng minh rằng

 $ \frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

Đặt $a=\frac{1}{x}$; $b=\frac{2}{y}$; $c=\frac{3}{z}$
$\Rightarrow$ $x+y+z=3$
Thế $a=\frac{1}{x}$; $b=\frac{2}{y}$; $c=\frac{3}{z}$ vào ta có :
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow$ $\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}$+$\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}$+$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$
Đây là bđt quen thuộc.Áp dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu ta có:$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$=$x-\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$\geq$ $x-\frac{xy^{2}}{2xy}$=$x-\frac{y}{2}$
Xây dựng các bđt thức tương tự.Ta có:
$\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}$+$\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}$+$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}$$\geq$$x+y+z-\frac{x+y+z}{2}$=$\frac{3}{2}$ ($Chú$ $ý$ $x+y+z=3$)
$\Rightarrow$ $ĐPCM$



#584486 $\boxed{{Topic}}$ Ôn thi học sinh giỏi lớp...

Gửi bởi royal1534 trong 23-08-2015 - 21:16

 

Bài 14:Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Tìm Max:$P= \frac{1}{1+xy+z^2}+\frac{1}{1+yz+x^2}+\frac{1}{1+xz+y^2}$

 

Áp dụng bđt $cauchy-swartchz$ Ta có 
$-P$=$\frac{1}{-1-xy-z^{2}}$+$\frac{1}{-1-yz-x^{2}}$+$\frac{1}{-1-zx-y^{2}}$$\geq$
$\frac{(1+1+1)^{2}}{-(3+xy+yz+zx+x^{2}+y^{2}+z^{2})}$$\geq$$\frac{9}{-(3+2(xy+yz+zx))}$=$\frac{-9}{5}$
$\Rightarrow$ $P$$\leq$ $\frac{9}{5}$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$  



#584446 $\boxed{{Topic}}$ Ôn thi học sinh giỏi lớp...

Gửi bởi royal1534 trong 23-08-2015 - 20:37

Em sinh năm 2001 và rất mừng khi có topic như vậy để ôn thi

Đóng góp topic:Cho x,y,z là các số thực dương thõa mãn $xyz$=2

Chứng minh:
$\frac{x}{2x^{2}+y^{2}+5}$+$\frac{2y}{6y^{2}+z^{2}+6}$+$\frac{ 4z}{3z^{2}+4x^{2}+16}$ $\leq$$\frac{1}{2}$ 



#582831 Chứng minh: $AE$=$AF$

Gửi bởi royal1534 trong 18-08-2015 - 13:51

1,Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.Vẽ $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$.$D$ là điểm trên đoạn thẳng $HC$.Vẽ hình chữ nhật $AHDO$ .Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $OD$ cắt tia đối $AB$ tại $E$,cắt $AC$ tại $F$

Chứng minh: $AE$=$AF$

2:Cho$(O;R)$ đường kính $AB$.$M$ là điểm bất kì thuộc $(O)$,Vẽ phía ngoài  tam giác $AMC$ vuông cân đỉnh $A$,Tam giác $BMD$ vuông cân đỉnh $B$

Chứng minh:trung diểm $I$ của $CD$ thuộc $(O)$

 




#582505 $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}...

Gửi bởi royal1534 trong 16-08-2015 - 22:36

$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} $ =$\frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}$+$\frac{\frac{1}{b^{2}}}{b(a+c)}$+$\frac{\frac{1}{c^{2}}}{c(a+b)}$   $\geq$ $\frac{\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{(abc)^{2}}}{2(ab+bc+ca)}$= $\frac{ab+bc+ca}{2}$$\geq$ $\frac{3}{2}$  




#576051 Phương trình $4x^{4}+3x^{3}-18x^{2}+3x+4...

Gửi bởi royal1534 trong 28-07-2015 - 00:02

Câu 1

$4x^{4}+3x^{3}-18x^{2}+3x+4$=0

Câu 2

$9x^{4}-24x^{3}-60x^{2}-48x-12$=0

Mình đã có đáp án nhưng ai giúp mình tìm ra cách giải với

Bài 1:Cách khác

Pt $\Leftrightarrow$ $(4x^{4}+4x^{3}-16x^{2})-(x^{3}+x^{2}-4x)-(x^{2}+x-4)=0$

$\Leftrightarrow$ $(4x^{2}-x-1)(x^{2}+x-4)=0$.Xong

$S={\frac{1\pm \sqrt{17}}{8},\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}}$




#573182 $\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^...

Gửi bởi royal1534 trong 16-07-2015 - 21:25

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$

Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$




#571782 [CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Gửi bởi royal1534 trong 12-07-2015 - 17:01

Các bạn bàn luận không được sôi nổi lắm nhỉ! Tiếp nhé!

Bài 15: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

 

                    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

 

 
    Giải: 
Ta chứng minh được bài toán nhỏ :$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$ $\geq$ $\frac{2a}{a+b+c}$ (1)
Thật vậy (1) $\Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$(a+b+c) $\geq$ 2a$\sqrt{b+c}$ 
a,b,c $\geq$ 0 $\Rightarrow$ a+b+c$\geq$2$\sqrt{a}$$\sqrt{b+c}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}$ $\geq$ $\frac{2a}{a+b+c}$ 
Vậy (1) đã được chứng minh 
tương tự $\sqrt{\frac{b}{a+c}}$ $\geq$ $\frac{2b}{a+b+c}$(2)
         $\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $\geq$ $\frac{2c}{a+b+c}$ (3)
Cộng 3 vế (1)(2)(3)$\Leftrightarrow$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $\geq$ 2
Dấu = xảy ra  $\Leftrightarrow$ a=b+c và b=c+a và c=a+b  $\Leftrightarrow$ a+b+c=0 trái với giả thiết a,b,c dương 
vậy $\sqrt{\frac{a}{b+c}}$+$\sqrt{\frac{b}{a+c}}$+$\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ >2





  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: royal1534