Louis Lagrange

- Thay $2abc=1-a^2-b^2-c^2$ 

Ta có :$P.abc=(a^2-2abc)(b^2-2abc)(c^2-2abc)=(a^2-a^2-b^2-c^2+1)(b^2-b^2-c^2-a^2+1)(c^2-c^2-a^2-b^2+1)=(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)$

+Nếu $1-a^2-b^2< 0,1-b^2-c^2< 0,1-c^2-a^2< 0= > P.abc< 0= > P< 0$

+Nếu $(1-a^2-b^2)+(1-b^2-c^2)+(1-c^2-a^2)> 0$

Theo AM-GM có:$(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)\leq \frac{(3-2(a^2+b^2+c^2))^3}{27}$

Mà $a^2+b^2+c^2=2abc+1\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}= > abc\geq 1= > a^2+b^2+c^2\geq 3$

$= > P\leq -1$

Hoàng Tùng Bạn làm sai rồi nhé. xem tại đây 

http://www.wolframal..., a>0, b>0, c>0

Bài 23:     Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                  $P=\left | 1+2sinx \right |+\left | 1+2cosx \right |$

ta có: $P^{2}=6+4(sinx+cosx)+\left | 1+2(sinx+cosx)+4sinxcosx \right |$

Đặt: $t=sinx+cosx,-\sqrt{2}\leq t \leq \sqrt{2}$

Khi đó: $sinx.cosx=\frac{t^{2}-1}{2}$

      $P^{2}=6+4t+2\left | 2t^{2}+2t-1 \right |$

TH1: $\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \leq t \leq \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

   $P^{2}=6+4t-2(2t^{2}+2t-1)=-4t^{2}+8$

   $f(\frac{-1-\sqrt{3}}{2})=4-2\sqrt{3}$

   $f(\frac{-1+\sqrt{3}}{2})=4+2\sqrt{3}$

   $f(0)=8$

TH2: $-\sqrt{2} \leq t \leq \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ hoặc là $\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

   $P^{2}=6+4t+2(2t^{2}+2t-1)=4t^{2}+8t+4$

   $f(-\sqrt{2})=12-8\sqrt{2}$

   $f(\sqrt{2})=12+8\sqrt{2}$

Do $P>0$ So sánh các giá trị ta thấy: 

$P_{min}=-1+\sqrt{3}$, dấu $"="$ xảy ra khi $t=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

hay $t=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi}{4})=sin({\frac{-5\pi}{12}})$

$\Leftrightarrow x=\frac{-2\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi}{6} +k2\pi;$ k thuộc tập số nguyên.

$P_{max}=\sqrt{12+8\sqrt{2}}$, dấu $"="$ xảy ra khi $t=\sqrt{2}$

hay $sin(x+\frac{\pi}{4})=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4} +k2\pi;$ k thuộc tập số nguyên.

Bài 23: 

               Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                 $P=\left | 1+2sinx \right |+\left | 1+2cosx \right |$

Giải hệ $\large \left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y \\ 2y+1=z^3+z^2+z \\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.$

Đặt $f(x)=2x+1;g(x)=x^{3}+x^{2}+x$

Lấy đạo hàm dễ dàng có: $f(x);g(x)$ đồng biến.

Không mất tính tổng quát giả sử: $x=max\left \{ x,y,z \right \}$

Thế thì: $f(x)=g(y)\leq g(x)$

$g(x)=f(z)\leq f(x)$

suy ra: $f(x)=g(x)$

Tới đây dễ dàng giải tiếp....

  Giải hệ phương trình sau: 

 

                $\left\{\begin{matrix} 2x(x^{2}+3)-y(x^{3}+3)=3xy(x-y) & & \\(x^{2}-2)^{2}=4(2-y) & & \end{matrix}\right.$

 

P/s: +) Đây là hệ phương trình mà một thầy giáo trường em nghĩ ra, đã đố rất nhiều thầy cô giáo ở trong tỉnh, hình như chưa ai giải được.

       +) Mong mọi người giúp đỡ.

Chắc thế. Vì nghiệm nó lẻ mà bạn