Louis Lagrange

- Thay $2abc=1-a^2-b^2-c^2$ 

Ta có :$P.abc=(a^2-2abc)(b^2-2abc)(c^2-2abc)=(a^2-a^2-b^2-c^2+1)(b^2-b^2-c^2-a^2+1)(c^2-c^2-a^2-b^2+1)=(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)$

+Nếu $1-a^2-b^2< 0,1-b^2-c^2< 0,1-c^2-a^2< 0= > P.abc< 0= > P< 0$

+Nếu $(1-a^2-b^2)+(1-b^2-c^2)+(1-c^2-a^2)> 0$

Theo AM-GM có:$(1-a^2-b^2)(1-b^2-c^2)(1-c^2-a^2)\leq \frac{(3-2(a^2+b^2+c^2))^3}{27}$

Mà $a^2+b^2+c^2=2abc+1\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}= > abc\geq 1= > a^2+b^2+c^2\geq 3$

$= > P\leq -1$

Hoàng Tùng Bạn làm sai rồi nhé. xem tại đây 

http://www.wolframal..., a>0, b>0, c>0

 

1) Cho a,b,c là các số thực không âm. CMR: \[4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}\]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$(2\sqrt{c^{3}}-\sqrt{a^{3}}-\sqrt{b^{3}})^{2}+3ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \geq 0.\blacksquare$

 Giải phương trình:$x(2x-1)^{2}=\frac{1}{9}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$x^{3}-x^{2}+\frac{1}{4}x-\frac{1}{36}=0$

Đặt: $x=y+\frac{1}{3}$ và $y=\frac{1}{3}t$

Phương trình trở thành:

$4t^3-3t=2$

do: $2>1$ nên:

Phương trình trên có nghiệm duy nhất:$t=\frac{1}{2}(p+\frac{1}{p})$

với p là nghiệm phương trình dạng bậc hai: $2=\frac{1}{2}(p^{3}+\frac{1}{p^{3}})$

Từ đây tìm được: $t=\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}}{2}$

Vậy: $x=\dfrac{\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} +2}{6}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

cái này phải đánh giá

 

Bạn thử đánh giá chứ mình thấy làm thế này không ổn!!

Đạo hàm $=0$ khi $x=1$ nên sau liên hợp sẽ còn 1 lần $x=1$ nữa   

giải phương trình : $(\sqrt{x}+1)(\frac{1}{\sqrt{x+15}}+\frac{1}{\sqrt{15x+1}})=1$

Điều kiện...

phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{x+15}}+\frac{1}{\sqrt{15x+1}}\geq \frac{2}{\sqrt[4]{(x+15)(15x+1)}}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{2}(x+66\sqrt{x}+1)\leq 0$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=1$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+y-1}+\sqrt{1-y}=y+2\\\sqrt{x^2-y}+\sqrt{xy-y}=x\sqrt{x} \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $2x+y-1 \geq 0, 1-y \geq 0, x^{2}-y \geq 0; xy -y \geq 0$

Xét pt(2):

$pt(2):\sqrt{x^{2}-y}+\sqrt{y(x-1)}=x\sqrt{x}$

*) $y \leq 0 \Rightarrow x-1 \leq 0\Leftrightarrow 0\leq x \leq 1$

$VP(2)=x\sqrt{x}=VT(2)\geq x\Rightarrow x\geq 1$

suy ra $x=1$ và $y=0$ (Thỏa mãn hệ)

*) $y\geq 0\Rightarrow x\geq 1$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$: $VT(2)=\sqrt{x^{2}-y}.1 +\sqrt{y(x-1)} \leq \sqrt{x^{2}.x}=VP(2)$

Dấu $"="$ có khi: $y=x^{2} -x$

Thay vào $pt(1)$: $\sqrt{x^{2}+x-1} +\sqrt{x+1-x^{2}} =x^{2}-x+2$

$VP=x^{2}-x+2=VT \leq \sqrt{2x} \Rightarrow (\sqrt{x} -1)^{2}.(x+\sqrt{x}+2) \leq 0 \Leftrightarrow x=1$

Tương tự suy ra: $y=0$

Vậy hệ đã cho có nghiệm: $(x,y)=(1;0)$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x^{4}+5y=6 & & \\ x^{2}y^{2}+5x=6 & & \end{matrix}\right.$

$x=0$ không thỏa mãn hệ

trừ theo vế 2 phương trình của hệ và phân tích ta được:

$(x-y)[x^{2}(x+y)-5]=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=x\\ y=\dfrac{5-x^{3}}{x^{2}} \end{bmatrix}$

*) $y=x \Rightarrow x^{4}+5x=6 \Leftrightarrow (x-1)(x+2)(x^{2}-2x+3)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=-2 \end{bmatrix}$

*) $y=\dfrac{5-x^{3}}{x^{2}} \Rightarrow x^{4}+5.\dfrac{5-x^{3}}{x^{2}}=6$

$\Leftrightarrow x^{6}-5x^{3}-6x^{2}+25=0 \Leftrightarrow (x^{3}-5)^{2}+(x^{2}+4)(x^{2}-2)^{2}+9=0(VN)$

Vậy hệ đã cho có nghiệm: $(x;y)=(1;1), (-2;-2)$

1)\[x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\]

Cái này mình nghĩ đánh giá sẽ nhanh hơn...

Điều kiện phương trình có nghiệm là: $x \geq1$

Ta có: $VP=1.\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-1}.\sqrt{\frac{1}{x}}\leq \sqrt{x.x}=x=VT$

Dấu $=$ xảy ra khi: $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Vậy....

Giải hệ phương trình:
2)
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{4-x}+\sqrt{y+8}=y^2+7x-1 &\\ \sqrt{2(x-y)^2+6y-2x+4}-\sqrt{x}=\sqrt{y+1} \end{matrix}\right.$

câu này đánh giá chắc nhanh hơn    :

Điều kiện bạn tự đặt nhé...

$pt(2):\sqrt{2(x-y)^{2}+6y-2x+4}=\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2(x+y+1)}$

$\Rightarrow (x-y-1)^{2}\leq 0 \Leftrightarrow x=y+1$

pt(1) chắc gõ sai đề sao đấy. số lẻ quá

Giải hệ phương trình:
1) 
$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-(x^2+x+4)y+x^2+xy^2-2=0 &\\ x^3+y^2-x^2y+x+xy^2-y=0 \end{matrix}\right.$

Chém câu này trước     

lấy $6pt(2)-2pt(1)$ theo vế và phân tích ta được: 

$(2x+1)((x-y)^{2}+(x-1)^{2}+(y+1)^{2})=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$

tới đây dễ dàng tìm được nghiệm.

Đáp số: $(x;y)=\left ( \frac{-1}{2};\frac{5\pm 3\sqrt{5}}{4} \right )$

giải bằng phương pháp đặt 2 ẩn phụ:

$\sqrt[3]{{(x-1)^2}} -2\sqrt[3]{x-1}-(x-5)\sqrt{x-8}-3x+31=0$

Điều kiện: $x\geq 8$

Đặt: $a=\sqrt[3]{x-1},b=\sqrt{x-8}$

với: $a\geq \sqrt[3]{7},b\geq 0$

$\Rightarrow x=b^{2}+8,a=\sqrt[3]{b^{2}+7}$

phương trình đã cho trở thành:

$a^{2}-2a-(b^{2}+3)b+a^{3}-4b^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^{3}+a^{2}-2a=(b+1)^{3}+(b+1)^2-2(b+1)$

Xét hàm số:$f(t)=t^{3}+t^{2}-2t$, $t\geq 1$

$f(t)'=3t^{2}+2t-2>0,\forall t\geq 1$

từ đó suy ra: $f(a)=f(b+1)\Leftrightarrow a=b+1$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{b^2+7}=b+1$

$\Leftrightarrow b=1$

trở lại cách đặt suy ra $x=9$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=9$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^{3}+y^{3}-2xy}{2xy}+8\sqrt{xy}-\sqrt{2y-1}=4x+3y\\ \sqrt{2-y^{2}}+2xy+2x+3y=8 \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $xy\geq 0, y\geq \frac{1}{2},2-y^{2}\geq 0$

Ta có: $\dfrac{(x+y)^{3}}{2xy} +4\sqrt{xy}+4\sqrt{xy}-\frac{3(x+y)}{2}\geq 6(x+y)-\frac{3(x+y)}{2}=\frac{9(x+y)}{2}$

$\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}-2xy}{2xy}+8\sqrt{xy}\geq \frac{9(x+y)}{2}-1$

mặt khác: $-\sqrt{2y-1}\geq -\frac{1+(2y-1)}{2}=-y$

$\Rightarrow VP(1)=4x+3y= VT (1)\geq \frac{9(x+y)}{2}-y-1$

$\Leftrightarrow x+y\leq 2$

$pt(2):8=2x+2xy+2y+(y+\sqrt{2-y^{2}})\leq 2x+2xy+2y+2$

$\Rightarrow 4\leq (x+1)(y+1)\leq \frac{(x+y+2)^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow x+y\geq 2$

Suy ra $x+y=2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(1;1)$

Giải các PT vô tỷ sau:
1 $\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[4]{x+81}=\frac{3}{2}(x+4)$

Điều kiện: $x\geq -1$

Áp dụng BĐT AM-GM cho Vế Trái ta có:

$\frac{3x}{2}+6=VP=VT\leq \frac{x+2}{2}+\frac{x+24}{12}+\frac{x+324}{108}=\frac{16x}{27}+6$

$\Rightarrow x\leq 0$

phương trình đã cho tương đương với:

$(2\sqrt{x+1}-2)+(2\sqrt[3]{x+8}-4) +(2\sqrt[4]{x+81}-6)=3x$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\frac{2}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{2}{\sqrt[3]{(x+8)^{2}}+2\sqrt[3]{x+8}+4}+\frac{2}{(\sqrt{x+81}+9)(\sqrt[4]{x+81}+3)}=3$

Đặt biểu thức vế trái là $f(x)$. Vì $x\in [-1;0]$ nên $VT=f(x)\leq f(-1)\approx 2,2< 3=VP$.

Phương trình vô nghiệm.

Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm $x=0$   

 

ĐK: $x \geq -30$

Đặt:

$$y=\frac{1}{4}\sqrt{x+30}$$

$$z=\frac{1}{4}\sqrt{y+30}$$

$$t=\frac{1}{4}\sqrt{z+30}$$

Từ phương trình đã cho suy ra:

$$x=\frac{1}{4}\sqrt{t+30}$$

Vậy ta có hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\sqrt{t+30}\\ t=\frac{1}{4}\sqrt{z+30} \\z=\frac{1}{4}\sqrt{y+30}\\y=\frac{1}{4}\sqrt{x+30}\end{matrix}\right.$$

Xét hàm số: $f(u)=\frac{1}{4}\sqrt{u+30}$

Dễ thấy hàm số trên đồng biến trong $[-30; + \infty )$. 

 

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $x \geq t \geq z \geq y$. Ta có:
$$f(x) \geq f(t) \geq f(z) \geq f(y)$$
Từ đó:
$$y \geq x \geq t \geq z$$
Vậy $x = y= z = t$
Ta có: $4x = \sqrt{x+30}$Ta thu được nghiệm: $x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}$

 

Hệ hoán vị mà bạn, không được phép giả sử $x\geq t\geq z\geq y$

Bạn hãy thử với bài toán đơn giản này nhé.

Giải phương trình: $\mathbf{\sqrt {1 - 2x} - {x^2} = 2 - \sqrt {1 + 2x}} $

Điều kiện: $\frac{-1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}$

Ta có:

$\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}=x^{2}+2$

VT$\leq \sqrt{2(1+2x+1-2x)}=2$

VP$\geq 2$

Vì vậy VT=VP khi và chỉ khi $x=0$

Phương trình đã cho có nghiệm: $x=0$