RoyalShipper

Chứng minh : 

Với a,b,c,d > 0 thì 

  $ab\sqrt{ab} + bc\sqrt{bc}+ ca\sqrt{ca}+ da\sqrt{da} \leq \frac{(a+b+c+d)^{3}}{16}$

Giả sử $VP$ đúng:$\Leftrightarrow x+1\geq 2\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2\geq 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm

Trời ơi,tui làm đến chỗ $2\sqrt{x} \leq x+1 => (2\sqrt{x}-x) \leq 1$ rồi ngỏm luôn 

Cảm ơn bạn nhiều nha 

A.Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của $1$ tam giác có diện tích $S$.CMR:

1) $a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3} S$ 

2) $(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) \leq a^2b^2c^2$

B.Cho $a,b,c > 0$ . C/m:

$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq ab(a^2+b^2)+ bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

Ta có:$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Thật vậy:$\left ( 1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right )^2$

$=\frac{1}{k^2}+1+\frac{1}{(k+1)^2}-\frac{2}{k(k+1)}+\frac{2}{k}-\frac{2}{k+1}$

$=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{2k+2-2-2k}{k(k+1)}$

$=1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}$

$\Rightarrow \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=\left | 1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right |=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Áp dụng ta tính được $M=2015-\frac{1}{2016}$

 

ĐÃ FIX

Đúng không?