Ju Nguyen

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết độ dài các cạnh của tam giác là các số nguyên và thỏa mãn: $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AH}=1$. Tính độ dài các cạnh của $\Delta ABC$.

Giúp mình với! Cần gấp nha!

Tính:
$A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{10}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2013}}+\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2014}}$

$B=1.1!+ 2.2!+3.3!+...+n.n!$

$C=1!.3+2!.7+3!.3+...+k(k^{2}+k+1)$

      Bài 1: Cho $\Delta ABC$ $(AB<AC)$, lấy điểm $D$ và $E$ tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh $AB$, $AC$ sao cho $BD=CE$. Gọi $K$ là gia điểm của $DE$ và $BC$. Chứng minh rằng: tỉ số $\frac{KE}{KD}$ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $E$ và điểm $D$.

      Bài 2: Cho $\Delta ABC$, đường phân giác $AD$, giả sử $AC=b$; $AB=c$; $BD=m$. Kẻ tia $Cx$ sao cho $\widehat{DCx} = \widehat{BAD}$ ( $Cx$ cắt $AD$ tại $I$ ), $Cx$ khác phía với $A$ đối với $BC$. Chứng minh rằng:

          a, $AD,DI = m.n$

          b, $AD^{2}$ $= b.c - m.n$

      Bài 3: Tính chu vi $\Delta ABC$ vuông tại $A$, biết đường cao $AH$ chia $\Delta ABC$ thành 2 tam giác $ABH$ và $AHC$ có chu vi theo thứ tự là: 18 $cm$; 24 $cm$.

      Bài 4: Cho $\Delta ABC$ và hình bình hành $AEDF$ có $E\epsilon AB, D\epsilon BC, F\epsilon AC.$ Tính $S_{\Delta EDF}$, biết $S_{\Delta EBD}$ = 3 $cm^{2}$ và $S_{\Delta FCD}$ = 12 $cm^{2}$.

      Bài 5: Cho $\Delta ABC$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$. Đường thẳng qua $I$ song song với $AB$ cắt $AM$, $AC$ theo thứ tự tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng: $DE=BK$

  $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $AH$ là đường cao, $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên cạnh $AB$, $AC$. Chứng minh : $BE^{2} = \frac{BH^{3}}{BC}$

 Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $C$. $M$ là một điểm trên cạnh $AB$, kẻ $MD\perp AC (D\epsilon AC), ME\perp BC).$ Gọi O là trung điểm của $AB$. Hỏi $\Delta ABC$ là tam giác gì? Vì sao?