comander1234

Gọi $P(x) \in \mathbb{Z}_{[x]}$ là một đa thức bậc chẵn có hệ số cao nhất bằng 1. CMR: Nếu tồn tại vô hạn số nguyên $x$ sao cho $P(x)$ là bình phương của một số nguyên dương thì tồn tại đa thức $Q(x)\in \mathbb{Z}_{[x]}$ sao cho $P(x)=Q(x)^{2}$.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \\ x^2(y+3)=4(2-y) \\ y^2(z+3)=4(2-z) \\z^2(x+3)=4(2-x) \end{matrix}\right.$

Cho số nguyên tố $p$ lẻ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $\frac{\phi (p-1)}{2}$ số $0<r<p$ mà r là căn nguyên thủy mod $p^{k}$ với mọi $k\in N^{*}$

Chứng minh rằng: Tồn tại vô hạn bộ 4 số nguyên dương sao cho tích hai số bất kì cộng 1 là số chính phương.

Chứng minh rằng :$GCD\left (C_{n}^{k},C_{n+1}^{k},...,C_{n+k}^{k} \right )=1$ với mọi $k,n\in N^{*}, k\leq n$.

Gọi $f(n)$ là số các hoán vị ${a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ của ${1;2;3;...;n}$ thỏa mãn

   i, $a_{1}=1$

  ii, $\mid a_{k+1}-a_{k}\mid \leq 2, k=1,2,...,n-1.$

Tìm số dư của $f(2015)$ khi chia cho 4.

Gọi $f(n)$ là số các hoán vị ${a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ của ${1;2;3;...;n}$ thỏa mãn

   i, $a_{1}=1$

  ii, $\mid a_{k+1}-a_{k}\mid \leq 2, k=1,2,...,n-1.$

Tìm số dư của $f(2015)$ khi chia cho 4.

Cho số nguyên tố $p$ lẻ, $n\in N^{*}$. Chứng minh rằng phương trình $x^{p-1}\equiv 1$(mod $p^{n}$) có đúng $p -1$ nghiệm phân biệt mod $p^{n}$.

Cho n là một số nguyên dương. Dãy $\left ( a_{_{n}} \right )$ xác định bởi $a_{0}=\frac{1}{2}, a_{k}=a_{k-1}+\frac{a_{k-1}^{2}}{n} \forall k=1,2,...,n$. Chứng minh rằng $1-\frac{1}{n}< a_{n}< 1$