buixuantruong

Với $P =\begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 1 &0 &1 \\ -1 &-1 &-1 \end{bmatrix}$ ta có $P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

Cần tìm B sao cho $AB=BA\Leftrightarrow P^{-1}ABP=P^{-1}BAP\Leftrightarrow(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a &b &c \\ m &n &p \\ x &y &z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &b &c \\ m &n &p \\ x &y &z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}(với  P^{-1}BP=\begin{bmatrix} a &b &c \\ m &n &p \\ x &y &z \end{bmatrix})\Leftrightarrow$$\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ m &n &p \\ x &y &z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &b &c \\ 0 &n &p \\ 0 &y &z \end{bmatrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=0\\ c=0\\ m=0\\x=0 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow P^{-1}BP=\begin{bmatrix} a &0 &0 \\ 0 &n &p \\ 0 &y &z \end{bmatrix}\Leftrightarrow B=\begin{bmatrix} a-p &a-n &a-n-p \\ a-z &a-y &a-y-z \\ -a+p+z &-a+n+y &-a+n+p+y+z \end{bmatrix}$

Xét hàm số $g(x)=e^{\frac{x}{2013}}.f(x)$ $\Rightarrow$ $f(x)=\frac{g(x)}{e^{\frac{x}{2013}}}$ (1)

Có ${g}'(x)=\frac{1}{2013}e^{\frac{x}{2013}}(f(x)+2013{f}'(x))\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{{g}'(x)}{\frac{1}{2013}e^{\frac{x}{2013}}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }(f(x)+2013{f}'(x))=2014$ (2)

Mặt khác $\lim_{x\rightarrow +\infty }{g}'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{1}{2013}e^{\frac{x}{2013}}(f(x)+2013{f}'(x)))=+\infty$

$\Rightarrow$ với M > 0, tồn tại x₀ để g'(x) > M với mọi x > x₀.

Từ g'(x) > M > 0 với mọi x > x₀ suy ra g(x) đồng biến trên (x₀; +$\infty$)

Với mọi k nguyên dương, theo định lí Lagrange tồn tại c_k thuộc (x₀ + k - 1; x₀ + k) sao cho: g(x₀ + k) - g(x₀ + k - 1) = g'(c_k) $\Rightarrow$ g(x₀ + k) - g(x₀ + k - 1) > M, với mọi k nguyên dương. Lần lượt cho k = 1, 2,..., n rồi cộng từng vế các bất đẳng thức thu được ta có: g(x₀ + n) - g(x₀) > nM $\Rightarrow$ g(x₀ + n) > nM + g(x₀) $\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }g(x_{0}+n)=+\infty \Rightarrow$ với mọi A > 0 tồn tại n₀ để g(x₀ + n₀) > A. Do g(x) đồng biến trên (x₀; +$\infty$) nên g(x) > A với mọi x > x₀ + n₀, suy ra $\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty$.

Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có:

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{g(x)}{e^{\frac{x}{2013}}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{{g}'(x)}{\frac{1}{2013}e^{\frac{x}{2013}}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=2014$

Chính là cô tiểu thư. Cô tắm lâu gương nhà tắm quá mờ không thể nhìn rõ được