Đến nội dung

phamhuy1801

phamhuy1801

Đăng ký: 25-07-2015
Offline Đăng nhập: 25-07-2019 - 13:52
***--

Trong chủ đề: Tại sao nhiều bài toán BĐT thế ?

09-08-2018 - 16:38

Hồi bắt đầu ôn thi HSG lớp 9, mình mang quan niệm bất đẳng thức là một dạng rất khó và chỉ dành cho người thực sự giỏi. Khi thấy ai đó đưa ra lời giải cho một bài bất đẳng thức nhìn có vẻ phức tạp, mình thấy rất ngầu.

Sau đó mình có mượn vài cuốn bất đẳng thức của thư viện và đọc, mình đã tự làm được một vài bài. Và theo một cách tự nhiên, mình hăng say hơn với bất đẳng thức. Mình giải được khá nhiều bài toán dạng này trên mạng xã hội và trong quá trình ôn tập trên lớp nên cũng tạo được phần nào ấn tượng của thầy và bạn bè về mảng bất đẳng thức. Suy nghĩ <bất đẳng thức là bài khó nhất đề thi> thậm chí còn làm mình đôi lúc tự mãn về bản thân.

Biến đổi, làm "chặt", thậm chí chắp vá để tạo ra các bất đẳng thức mới để đăng lên các group hay đố bạn bè: mình đều đã làm. Đề thi năm ấy, câu bất đẳng thức khá đơn giản, nhưng mình thì bỏ hai câu hình và một câu số học. Giờ nghĩ lại: quá trình mình "sáng tạo" ra các bất đẳng thức chẳng phải là quá trình tư duy, có thể chỉ là một quá trình đi tìm vẻ đẹp của toán học một cách mù quáng, hoặc đơn giản hơn là để thỏa mãn cái tôi với những bất đẳng thức mà mình vẫn thường gọi là "mạnh", là "trâu bò". Tất nhiên, "sáng tạo bất đẳng thức" một cách nghiêm túc và vận dụng nhiều chất xám vào từng bài toán lại là một câu chuyện khác. 

Trong chủ đề: [TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

18-05-2018 - 20:08

Bài $58$: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $HD, HE$ lần lượt là phân giác góc $BHA$ và $CHA$ ($D,E$ thuộc $AB, AC$). $I$ là trung điểm $DE$. $BI$ cắt $DH, CD$ lần lượt tại $M,P$; $CI$ cắt $EH$, $BE$ lần lượt tại $N,Q.$ $BE$ cắt $CD$ tại $K.$ Chứng minh:

a, Tứ giác $APKQ$ nội tiếp.
b*, $MN//DE$ và $MN$ cắt $AH$ tại $K$.
32588593_378688822634545_155765427741183

 

 

Bài $58a$.
Dễ chứng minh được $\triangle ADE$ vuông cân tại A, do đó $2AE.AD=DE^2$
Theo định lí đường phân giác trong và hệ thức lượng:
$\frac{BD}{DA}=\frac{BH}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{AE}{EC}$
Suy ra $BD.EC=AD.AE=\frac{DE^2}{2}=DE.DI$
$\leftrightarrow  \frac{BD}{DI}=\frac{DE}{EC}$
$\rightarrow \triangle BDI \sim \triangle DEC$
$\rightarrow  \widehat{DIP}=\widehat{ECP}$
Do đó tứ giác $PIEC$ nội tiếp.
$\leftrightarrow  DP.DC=DE.DI=DA^2$
$\leftrightarrow AP \perp DC$
Tương tự có $AQ \perp BE$.
Suy ra tứ giác $APKQ$ nội tiếp.
 
 

Trong chủ đề: $\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2...

18-05-2018 - 01:37

Cho các số dương a, b, c thì ta có bất đẳng thức:

 $\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\leq 1$

 

p/s: Mọi người ủng hộ các bài toán có ứng dụng của BĐT này dùm em. Em cảm ơn 

 

C2: Sử dụng đánh giá $\frac{a^2}{2a^2+bc} \le \frac{a^2b^2+c^2a^2}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$.

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại thu được đpcm.

 

C3: Đặt $(\frac{bc}{a^2}; \frac{ca}{b^2}; \frac{ab}{c^2}) \rightarrow (x;y;z)$

Khi đó ta có $xyz=1$ và quy về chứng minh:

$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \le 1$
Chứng minh đã có ở đây.
 
Trong cuốn "Sử dụng phương pháp C-S để chứng minh BĐT" của anh Cẩn có khá nhiều bài toán ứng dụng BĐT này  :D .

Trong chủ đề: [TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

17-05-2018 - 23:50

 

Bài $43$: Cho $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $CE$ tại $G$, đường tròn đường kính $AC$ cắt $BD$ tại $F$. $CF$ cắt $BG$ tại $I$, $DG$ cắt $EF$ tại $K$.

a, Chứng minh $3$ điểm A,I,K cùng nằm trên đường trung trực của FG .

b, Giả sử $EF$ cắt $BG$ tại $M$, $DG$ cắt $CF$ tại $N$. Chứng minh $HI, EN, DM$ đồng quy.

 

32678503_378178532685574_842490035768708

 

Lời giải phần $b$ (có dùng định lí $Menelaus$ và định lí $sin$ trong tam giác)

Gọi $EN$ cắt $HI$ tại $P$. Ta chứng minh $M, P, D$ thẳng hàng. 

$\widehat{FMI}=\widehat{IGN}=\widehat{ABC}$, chứng minh được $\triangle FMI =\triangle GNI (g.c.g) \rightarrow MI=NI; \widehat{FMI}=\widehat{ING}$

Ta có:

$\frac{BM}{BE}=\frac{sin \widehat{BEF} }{sin \widehat{BME}}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{FMI}}$
$\frac{CD}{CN}=\frac{sin \widehat{CND} }{sin \widehat{CDG}}=\frac{sin \widehat{ING} }{sin \widehat{ABG}}$
Nên:
$\frac{BM}{BE}.\frac{CD}{CN}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{FMI}}.\frac{sin \widehat{ING} }{sin \widehat{ABG}}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{ABG}}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{BE}.\frac{CD}{CN}=\dfrac{(\dfrac{AF}{AC})}{(\dfrac{AG}{AB})}=\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.\frac{BE}{CD}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{HE}{EC}.\frac{DB}{HD}$
$\Leftrightarrow \frac{HD}{DB}.\frac{BM}{MI}=\frac{HE}{EC}.\frac{CN}{NI}$ (sử dụng $MI=NI$) 
$\Leftrightarrow \frac{IP}{PH}.\frac{HD}{DB}.\frac{BM}{MI}=1$ (theo định lí $Menelaus$ có $\frac{HE}{EC}.\frac{CN}{NI}.\frac{PI}{PH}=1$)

$\Leftrightarrow $ $M,D,P$ thẳng hàng. Bài toán được chứng minh.


Trong chủ đề: [TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

16-05-2018 - 21:27

Bài $57$: Cho $\triangle ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường trung trực đoạn $IC$ cắt $AI, BI, AC, BC$ lần lượt tại $D,E,H,F$. Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AIH$.
a, Chứng minh $(T)$ đi qua $E$ và $5$ điểm $A,B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh $IT \perp BD$.
32650032_378688749301219_208224515206309
Bài $58$: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $HD, HE$ lần lượt là phân giác góc $BHA$ và $CHA$ ($D,E$ thuộc $AB, AC$). $I$ là trung điểm $DE$. $BI$ cắt $DH, CD$ lần lượt tại $M,P$; $CI$ cắt $EH$, $BE$ lần lượt tại $N,Q.$ $BE$ cắt $CD$ tại $K.$ Chứng minh:
a, Tứ giác $APKQ$ nội tiếp.
b*, $MN//DE$ và $MN$ cắt $AH$ tại $K$.
32588593_378688822634545_155765427741183

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: phamhuy1801