VoHungHuu

Xét dãy $(y_{n}): y_{n+2}=3y_{n+1}+504y_{n}$ ( $y_{0}=1, y_{1}=45$ ). Dễ thấy $y_{n}\equiv x_{n} (mod 503)$ với mọi số tự nhiên n

Xét phương trình đặc trưng của $(y_{n})$ $y^{2}-3y-504=0 \Leftrightarrow y=24, y=-21$. Kết hợp với $y_{0}=0, y_{1}=45$, công thức số hạng tổng quát của dãy $(y_{n})$ là $y_{n}= 24^{n}-(-21)^{n}$. Vậy $y_{2008}= 24^{2008} -21^{2008}$

Vì 503 là số nguyên tố nên $24^{2008}\equiv (24^{502})^{4}\equiv 1^{4}\equiv 1 (mod 503)$ (định lý Fermat nhỏ). Tương tự $21^{2008}\equiv 1 (mod 503)$. Vậy $y_{2008}\equiv 0 (mod 503)$. Do đó, $x_{2008}\equiv y_{2008}\equiv 0 (mod 503)$.(1)

Xét dãy $(x_{n})$ ta có $x_{k+6}= 3x_{k+5}+x_{k+4}=...= 360x_{k+1}+109x_{k} \Rightarrow x_{k+6}\equiv x_{k} (mod4)$. Vì $2008\equiv 2 (mod 6)$ nên $x_{2008}\equiv x_{2}\equiv 3 (mod4)$ (Do $x_{2}= 3.45$ ) (2). Từ  (1) và (2) ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} x_{2008}\equiv 0 (mod 503) & \\ x_{2008}\equiv 3 (mod 4) & \end{matrix}\right.$

Giải hệ trên ta được $x_{2008}\equiv 503 (mod 2012)$.

Cho a,b,c>0 và a^{2}+b^{2}+c^{2}=1

CMR:\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-bc}\leq \frac{9}{2}

* xin lỗi em không tài nào sao chép hình ảnh được :'(

Xét $a_1, a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,...,a_1+a_2+...+a_n, a_2+a_3, a_2+a_3+a_4,...,a_2+a_3+...+a_{n},...$

Có $\dfrac{n(n+1)}{2}>2n$ phần tử trong dãy trên nên tồn tại hay phần tử sẽ có cùng số dư khi chia cho $2n$

Giả sử $a_1+a_2$ và $a_2+a_3+a_4$ có cùng số dư thì đâu có được đâu bạn.

Về điều kiện thứ nhất, thay $C=\dfrac{\pi}{3}$ và $a=b$ vào ta có:

$VT=3$ và $VP=\sqrt3$ ???

Bạn kiểm tra lại đề thử

Đề sai rồi đó bạn à, phải là $\frac{1+cosC}{sinC}$