Đến nội dung

Frankesten

Frankesten

Đăng ký: 28-07-2015
Offline Đăng nhập: 15-03-2024 - 15:34
-----

Trong chủ đề: $P=(a^5+b^5+c^5)(\dfrac{1}{a^5}+\dfrac...

12-03-2016 - 19:04

 

Biến đổi điều kiện $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+\frac{a+b}{c}+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geqslant 1+2\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 7$
$P=3+\frac{c^{5}}{a^{5}+b^{5}}+\frac{a^{5}+b^{5}}{c^{5}}+\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}\geqslant \frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}+2\sqrt{\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}+2}$
Ta có thể biến đổi $\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}$ theo $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Và dồn về $f(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$ với $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 7$
p/s:bài này có điểm cực trị rất lạ,khi đánh giá ta nên tạm bỏ qua bước dự đoán điểm rơi

 

Thanks so much bro!


Trong chủ đề: $abc + a^2 + b^2 + c^2 +5\geq 3(a+b+c)$

06-03-2016 - 19:15

Ta cần chứng minh: $2(a^2+b^2+c^2)+2abc+10\geqslant 6(a+b+c)$

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1, b-1, c-1$ phải có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử $(b-1)(c-1)\ge 0$

Khi đó $(a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1)\ge 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$

Do đó $VT\geqslant a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+9=(a+b+c)^2+9\geqslant 2.\sqrt{(a+b+c)^2.9}=6(a+b+c)$

Ta có điều phải chứng minh.

THanks nhiều nha


Trong chủ đề: $abc + a^2 + b^2 + c^2 +5\geq 3(a+b+c)$

06-03-2016 - 09:54

Dễ thấy BĐT sai ngay với $a=b=c=1$  :(

sorry bạn mình up nhầm thiếu +5. giờ thì đề đúng r giúp mk vs


Trong chủ đề: MAX $P= \sqrt{(5x+4y-4x^2)(1-y)}.(\sqrt{2-2...

06-03-2016 - 08:29

Cho các số thực x, y thỏa mãn: $x^2 + y^2 =1$

Tìm giá trụ lớn nhất của biếu thức:
$P= \sqrt{(5x+4y-4x^2)(1-y)}.(\sqrt{2-2y}+\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}+\sqrt{x+x\sqrt{3}+y})$


Trong chủ đề: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}...

29-10-2015 - 20:30

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng:

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq (\frac{10}{3})^3$

Ta có:

$$VT=(a+\dfrac{1}{b})(b+\dfrac{1}{c})(c+\dfrac{1}{a})$$

$$=\prod(a+\frac{1}{9b}+\frac{8(a+b+c)}{9b})$$

$$\geq \prod(\frac{2}{3}*\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{8}{9}+\frac{16\sqrt{ac}}{b})\geq(\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{16}{9})^3$$

$$=(\dfrac{10}{3})^3$$  (BDT Holder với 3 bộ số )