thanhtuoanh

 

Cho số thực a,b thỏa mãn:$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$

Tìm GTNN của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Minicopski:

$\sqrt{16+a^4}+\sqrt{16+16b^4}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+4b^2)^2}=\sqrt{(a^2+4b^2)^2+64}$

Từ gt: $a+2b+ab=\frac{5}{2}$

$a^2+4b^2\geq 4ab$ nên: $\frac{a^2+4b^2}{4}\geq ab$

$a^2+1\geq 2a$ nên $\frac{a^2+1}{2}\geq a$ 

$4b^2+1\geq 4b$ nên $\frac{4b^2+1}{2}\geq 2b$

Do đó, $a^2+4b^2\geq 2$

nên $P\geq\sqrt{2^2+64}=2\sqrt{17}$

Đẳng thức xảy ra tại $a=1;b=\frac{1}{2}$

Giải phương trình:

$\frac{1}{2011x+1}-\frac{1}{2012x+2}=\frac{1}{2013x+4}-\frac{1}{2014x+5}$

ĐK:Các mẫu thức khác 0

$PT\Leftrightarrow \frac{1}{2011x+1}+\frac{1}{2014x+5}=\frac{1}{2013x+4}+\frac{1}{2012x+2}\Leftrightarrow \frac{4025x+6}{(2011x+1)(2014x+5)}=\frac{4025x+6}{(2012x+2)(2013x+4)}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{-6}{4025}(TM) & \\ \frac{1}{(2011x+1)(2014x+5)}=\frac{1}{(2012x+2)(2013x+4)} & \end{bmatrix}\Leftrightarrow (2012x+2)(2013x+4)=(2011x+1)(2014x+5)\Leftrightarrow...\Leftrightarrow (x+1)(2x+3)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 & \\ x=\frac{-3}{2} & \end{bmatrix}$

Đối chiếu điều kiện nữa là OK nha

Làm nốt bài 1b nào 

 

1/ Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác, c/m

a/ abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ?

b/ $a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})< 0$ với a<b<c .

$a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})=(a-b)(c-a)(c-b)(ab+bc+ca)< 0\forall a< b< c(do a< b< c\Rightarrow a-b< 0;c-a>0;c-b>0\Rightarrow đpcm)$

Không tính giá trị, hãy so sánh:

$A=(\frac{2015-2014}{2015+2014})^2;B=\frac{2015^2-2014^2}{2015^2+2014^2}$

$B=\frac{2015^2-2014^2}{2015^2+2014^2}=\frac{(2015-2014)(2015+2014)}{2015^2+2014^2}> \frac{(2015-2014)^{2}}{2015^2+2014^2+2.2015.2014}=(\frac{2015-2014}{2015+2014})^2=A\Rightarrow A< B$

*Đề 2:

Bài 1: Cho \[N = {x^2} - 3x\sqrt y  + 2y\]

a) Phân tích N thành nhân tử.

b) Tính giá trị của N khi \[x = \frac{1}{{\sqrt 5  - 2}};y = \frac{1}{{9 + 4\sqrt 5 }}\]

a)$x^{2}-3x\sqrt{y}+2y=x^{2}-x\sqrt{y}-2x\sqrt{y}+2y=x(x-\sqrt{y})-2\sqrt{y}(x-\sqrt{y})=(x-2\sqrt{y})(x-\sqrt{y})$

b)$x=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2;y=\frac{1}{9+4\sqrt{5}}=9-4\sqrt{5}\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$

Thay vào tính thôi 

Câu 4:

Giả sử x không phải là sô nguyên. Đặt x=$\frac{a}{b}$ (a,b $\in$ Z , a$\neq$ 0, b $\neq$ 0,$\pm$ 1) và (a,b)=1

Ta có: ($\frac{a}{b}$ )²+ $\frac{a}{b}$  + 6 = y² (y $\in$  N)

<=>  a² + ab + 6 b² =y² b²

<=> a² = y² b² - ab - 6 b²

=> a²$\vdots$ b , trái với giả thiết (a,b)=1

Suy ra x phải là số nguyên.

Do đó: x² + x + 6 = y²

<=> 4x² +4 x +24 = 4y²

<=>(2x+1)² - 4y² =-23

<=>(2x+1-2y)(2x+1+2y)=-23

Do x,y nguyên nên xét từng trường hợp là ra

------

Đáp số: 5,-6

Bạn có thể cho mình biết tại sao lại chọn cosi các cặp số $\frac{1}{a}$ và 16a, $\frac{9}{b}$ và 16b không 

Đoán dấu "=" xảy ra khi a+b=1. Do a+b <=1 mà ta tìm min nên ta sẽ tách a=ax-(x-1)a, b=bx-(x-1)b để có -(x-1)(a+b) đánh giá vì có a+b<=1

a+b=1, ta dễ đoán được dấu = xảy ra khi a=1/2 và b=3/4
Ta áp dụng bdt am-gm cho ax và 1/a => a^2 =1/x => 1/16=1/x (do ta đoán dấu = xảy ra khi a=1/4)
=> x= 16
Do đó ta tách đc như vậy

Mình nghĩ là cần có điều kiện a,b dương

 

P=a+b+$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$ = $\frac{1}{a}$ +  16a + $\frac{9}{b}$ +16b -15(a+b)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a}$ +  16a  $\geq 2\sqrt{16a.\frac{1}{a}}$ =8

$\frac{9}{b}$ +  16b  $\geq 2\sqrt{16b.\frac{9}{b}}$ =24

Lại có a+b$\leq 1$ => 15(a+b) $\leq 15$ =>-15(a+b) $\geq$ -15

Do đó a+b+$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$ $\geq$ 8 +24 -15 =17

Dấu "=" xảy ra <=> a=$\frac{1}{4} $

                                b= $\frac{3}{4}$

Vậy...

Do vp=9 $\vdots$ 3, 3y $\vdots$ 3 nên 2x $\vdots$ 3 => x $\vdots$ 3 => x=3k (k $\in$  N^*)

PT trở thành 6k + 3y=9

<=> 2k+y=3

<=> y=3-2k 

Do k $\geq 1 nên y=3-2k \leq$ 1 mà y nguyên dương nên y= 1 => k=1 => x=3

Vậy PT có nghiệm (x,y) nguyên dương  là (3,1)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{x^{4}+3}{x^{^{3}}} = x+\frac{3}{x^{3}} =\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{3}{x^{3}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{3}{x^{3}}} =\frac{4}{\sqrt{3}}$

Dấu "=" xảy ra <=> x=$\sqrt{3}$

Vậy Min_P = $\frac{4}{\sqrt{3}}$ khi x=$\sqrt{3}$

2/

TH 1: n=4k (k $\in N)$

Ta có: [ $\frac{4k+3}{4}$] +  [ $\frac{4k+5}{4}$] +  [ $\frac{4k}{2}$] = [ k+$\frac{3}{4}$] + [ k+$\frac{5}{4}$] + [ 2k ] = k+k+1+2k=4k+1=n+1 

các Th n=4k+1, n=4k+2,n=4k+3 tương tự

 

n

hình như bài 207 nguyên thì phải

c) x² + y² +xy = x²y²

  <=> x² + y² +2xy = x²y² + xy

<=> (x+y)² = xy(xy+1)

Ta có tính chất: nếu bình phương của 1 số nguyên bằng tích của 2 số nguyên liên tiếp thì 1 trong hai số đó phải bằng 0, 

xy=0  hoặc xy+1=0

sau đó xét từng TH là ra

Giải giúp mình bài này với Tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn

$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+{\sqrt{z}}$

Cám ơn nha

 

PT <=>  $ x +2\sqrt{3}=y + 2\sqrt{yz}+ z$

Do x,y,z nguyên dương nên ta suy ra  x=y+z  và yz=3

+) yz=3 => y=1 , z=3 hoặc y=3, z=1

 Khi đó x+1+3=4

Vậy các số nguyên dương (x,y,z) cần tìm là: (4,3,1) ,(4,1,3)

21) Đặt $\sqrt{x^{2} +5x+28}$ =a (a>=0)

(x+1)(x+4)=x²  + 5x + 4 => (x+1)(x+5)=a² - 24

Ta có PT trở thành: 

a² - 24 = 5a

<=> a² - 5a -24=0

<=> (a+3)(a-8) =0

<=> a=8 (do a>=0)

với a=8 ta suy ra x² +5x+28=64

<=>  x² +5x - 36 =0

<=> x=-9 hoặc x=4

Vậy PT có nghiệm là x=-9 hoặc x=4

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM, AB> AC$ và $\widehat{BAM}=\widehat{ACB}$.

a) Chứng minh $\widehat{BAC}> 90^{0}$

b) Gọi AI là dường phân giác của $\Delta ABC$, K là điểm nằm giữa I,C sao cho $\frac{IM}{IK}=\frac{AM}{AK}$. Chứng minh AI cũng là đường phân giác của $\Delta AMK$ và $\frac{KB}{KC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

b) Theo câu a) ta cm được $\widehat{CAM}>\widehat{ACM}=> \widehat{CAM}>\widehat{BAM}=>\widehat{BAM}<\frac{\widehat{BAC}}{2}$  (1)

Do AI là tia phân giác của $\widehat{BAC} => \widehat{BAI} =\frac{\widehat{BAC}}{2} (2)$

I,M cùng thuộc BC nên AM và AI cùng năm trên một nửa mặt phẳng bờ AB nên từ (1) và (2) suy ra tia AI nằm giữa tia AM và AC. Mặt khác, điểm K nằm giữa I và C nên tia AI nằm giữa 2 tia AM và AK hay tia AI nằm trong góc MAK. Lại có $\frac{IM}{IK}=\frac{AM}{AK}$ nên AI là tia phân giác của tam giác MAK

 

P/s mình cũng ko biết đúng hay là sai nữa, nếu là sai thì mong mọi người thông cảm 

ACM