Cho số thực a,b thỏa mãn:$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$
Tìm GTNN của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$
Áp dụng bất đẳng thức Minicopski:
$\sqrt{16+a^4}+\sqrt{16+16b^4}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+4b^2)^2}=\sqrt{(a^2+4b^2)^2+64}$
Từ gt: $a+2b+ab=\frac{5}{2}$
$a^2+4b^2\geq 4ab$ nên: $\frac{a^2+4b^2}{4}\geq ab$
$a^2+1\geq 2a$ nên $\frac{a^2+1}{2}\geq a$
$4b^2+1\geq 4b$ nên $\frac{4b^2+1}{2}\geq 2b$
Do đó, $a^2+4b^2\geq 2$
nên $P\geq\sqrt{2^2+64}=2\sqrt{17}$
Đẳng thức xảy ra tại $a=1;b=\frac{1}{2}$
- HoangVienDuy yêu thích