revenge

Bài 26 (Azerbaijan JMO). Cho $n\in\mathbb{N}$. Chứng minh rằng:

\[n\sqrt[n+1]{n+2}+\sqrt[n+1]{n+2}-1<n+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n+1}\]

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+...+\frac{n+2}{n+1}>(n+1)\sqrt[n+1]{n+2}$

đúng theo AM-GM nhưng đấu bằng không xảy ra

em có lời giải bằng talet cho câu b) và mở rông

trong mở rộng khi cho AD là phân giác thì A,I,Y thẳng và khi AD là trung tuyến thì A,T,P,U,Y thẳng nên ta cũng suy ra bài USAMO 2008

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A. P$ là điểm di chuyển trên $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.

 

bài này vẫn đúng nếu AD không phải là đường phân giác

đề: cho tam giác ABC nội tiếp (O) lấy D bất kì trên cung BC không chứa A , P nằm trên doạn  $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

do abc=1 nên ta có thể thay $a=\frac{yz}{x^2},b=\frac{xz}{y^2},c=\frac{xy}{z^2}$

vậy ta phải chứng minh

$\sum \frac{x^2}{2yz+x^2}\geq 1$

cái này đúng theo C-S

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow 4\sum ab+4\sum a+3\geq 8abc+4 \sum ab+2\sum a+1 \Leftrightarrow 2 \sum a +2 \geq 8abc\Leftrightarrow \sum a \geq 3$

cái bất dẳng thức cuối dúng theo AM-GM

Ta có $(A_{2}A_{1}BC)=-1\Leftrightarrow \frac{A_{2}B}{A_{2}C}=\frac{A_{1}B}{A_{1}C}$ Chứng minh tương tự.

Áp dụng định lí $Ceva$ cho cho $A_{1},B_{1},C_{1}$ suy ra $A_{2},B_{2},C_{2}$ thẳng hàng theo định lí $Menelaus$ đảo.

Áp dụng định lí về đường thẳng $Gauss$ cho tứ giác toàn phần $A_{2},B_{1},A_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ suy ra  trung điểm của $3$ đường chéo thằng hàng.

Suy ra $A_{3},B_{3},C_{3}$ thẳng hàng.

Còn $OH$ vuông góc mình vẽ hình thấy không vuông.

bổ đề: cho ABC, 2 phân giác trong và ngoài góc A cắt BC tại D,E , (DE) cắt (ABC) tại F thì AF là đường dối trung tam giác 

chứng minh

gọi AD cắt (ABC) tại K và M là trung điểm BC suy ra KM vuông góc BC suy ra EAMK nội tiếp

ta có $\widehat{DFE}=90=\widehat{DFK}\rightarrow \overline{E,F,K}\rightarrow \widehat{DAF}=\widehat{FED}=\widehat{KED}=\widehat{KAM}$

ta gọi giao của ND,MD với AB,AC là R,Q theo pascal cho A,N,M,C,D,B thì R,Q,P thẳng ta A,M,Q,P đồng viên do góc DAC=PMQ suy ra AQP=AMN=ABC suy ra QR song song BC bây giờ ta áp dụng desargues cho tam giác FPE và tam giác RDQ suy ra mà RF,DP,EQ đồng qui nên EF,NM,RQ đồng qui tại G, gọi PH cắt MN tại L xét tam giác NPM có NE,MF,PL đồng qui tại H mà EF cắt MN tại G, gọi AT cắt RQ tại K suy ra -1=(GLNM)=(GTFE)=(GKRQ)=P(GTFE) mà do GP song song BC suy ra HT đi qua trung điểm BC đặt tên trung diểm là X , áp dụng pascal cho A,A,N,M,B,C mà G,E,F thằng nên suy ra GA là tiếp tuyến của (ABC) suy ra cũng là tiếp tuyến của (ARQ) mà (GKRQ)=-1 suy ra AT là đường đối trung của tam giác ARQ suy ra AT là đường dối trung của tam giác ABC, gọi giao của DX và (ABC) là V suy ra AV là phân giác ngoài của tam giác ABC, gọi VT cắt (BAC) tại S',gọi DS' cắt tiếp tuyến AG tại G', AT cắt ABC) tại W, gọi giao DW,AV tại X suy ra áp dụng pascal cho S',V,D,A,A,W suy ra X,G',T thẳng mà ta có theo bỏ đề 1  suy ra X thuộc BC,gọi AD cắt BC tại Y suy ra (XYCB)=-1 , gọi giao của XT và AB,AC là E',F' suy ra BE',CF' ,AD đồng qui suy ra F' trùng F, E' trùng E suy ra G' trùng G suy ra S' trùng S suy ra ST di qua trung diểm cung BC chứa A

ps: bạn nào rảnh vẽ hình trên geogebra giùm, mình không rành cách vẽ

Lời giải hay. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ chứng minh $HT$ cũng đồng quy.

em đọc mấy bài giải trên rồi nhưng không biết cách em có giống mấy cách trên không nếu giống mong mọi người thứ lỗi 

PE giao AQ=I và QF giao AP=J chứng minh được I,J thuộc (O) dùng pascal cho A,A,I,J,E,F suy ra EF, PQ, tiếp tuyến tại A đồng qui và AM giao NF tại T' áp dụng pascal cho A.F.N,J,I,M suy ra P,T',O thẳng hàng suy ra T' trùng T suy ra T, N, F thẳng chứng minh tương tự S,M,E thẳng áp dụng pascal cho A,A,,M,N,F,E suy ra ST, EF tiếp tuyến tại A suy ra ST,PQ,EF, tiếp tuyến tại A đồng qui (em không biết cách viết thứ tự các điểm để dùng pascal nên mong mọi người thứ lỗi)

bài này hoàn toàn có thể giải được bằng kiến thức thcs như sau

gọi N là trung điểm AC suy ra ENC đồng đạng EGF suy ra EGCN nội tiếp góc GEC=GNC=FAB suy ra góc CGE = AFB suy ra dpcm

cách dùng AM-GM ta có $\sum a^2+3 \geq \frac{(\sum a)^2}{3}+3 \geq 2(\sum a)$ dấu bằng a=b=c và a+b+c=3 suy ra dpcm

đề A chưa tối giản thì $n+1|n^2+5$ suy ra $n+1|n(n+1)-(n+1)+6$ suy ra $n+1|6$ suy ra $\frac{6}{n+1}$ chưa tối giản

A=$(2^4)^2+2.2^4.2^6+(2^6)^2=(2^4+2^6)^2$ suy ra $n=12$

bài này tui gặp khá nhiều lời giải gần giống như trên nhưng tui không chắc đây có phài là nghiệm duy nhất hay không

bài này rất đẹp giải bằng các bổ dề sau $\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}$ và  và sử dụng pitago

lời giải

đặt $\frac{1}{AC}=x$ và $\frac{1}{AB}=y$ vậy phải giải phương trình nghiệm nguyên sau $x^2+y^2=(1-x-y)^2$ suy ra x=2 và y=2