Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


quanguefa

Đăng ký: 06-08-2015
Offline Đăng nhập: 19-08-2020 - 17:01
*****

#694630 $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x^{x}...

Gửi bởi quanguefa trong 12-10-2017 - 15:16

Tính giới hạn sau:

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x^{x}-1)lnx$




#666290 $\sum \frac{ab}{(a+b)^2}\leq \fr...

Gửi bởi quanguefa trong 30-12-2016 - 22:29

Cho ba số thực không âm a, b, c trong đó không có 2 nào cùng bằng không. CMR:

$\sum \frac{ab}{(a+b)^2}\leq \frac{1}{4}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Bài này mình có xem qua lời giải theo đổi bien khá đep. Bạn nào giúp mình làm theo p,q,r hay SOS xem có được không? Vì mình đang làm quen 2 pp này.




#665940 Kĩ thuật đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi quanguefa trong 26-12-2016 - 21:06

Mình xin bổ sung cho topic một số bài toán BĐT mà việc đổi biến cho ta một lời giải rất đẹp! Và những kĩ thuật đổi biến này theo mình là khá lạ với một số bạn. (mình cũng chỉ lấy từ sách ra thôi =) )

 

Bài 9 [Vasile Cirtoaje] 

CMR nếu a, b, c là những số thực không âm thì ta có: 

$2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1)$

Gợi ý: đặt $a=\frac{1-x}{1+x}$

 

Bài 10 [Vasile Cirtoaje]

Cho a, b, c là những số thực dương thoả mãn: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=13$

Tìm GTNN của biểu thức: $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Gợi ý: đặt: $x=\sum \frac{a}{b};y=\sum \frac{b}{a}$. Chú ý mối liên hệ giữa x và y để đưa BĐT cần chứng minh về BĐT mới chỉ gồm 2 biến x, y.

 

Bài 11 [IMO 1983]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. CMR: $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$

Gợi ý: với những bài cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác ta thường dùng phép đổi biến $x=\frac{b+c-a}{2}$... Để đưa về BĐT với các số thực dương.

 

Bài 12 [Dự bị 30/4]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. CMR: $\left | \sum \frac{a-b}{a+b} \right |< \frac{1}{16}$

Gợi ý: đổi biến tương tự như trên nhưng trước đó ta cần có một số biến đổi phù hợp.

 

Nếu không có bạn nào giải mình sẽ post lời giải lên sau =)




#665328 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b...

Gửi bởi quanguefa trong 21-12-2016 - 11:34

CHo a,b,c dương:

   Thõa ab+bc+ac+2abc=1

           Tìm Min: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)$

( Có ai giải dùm em bằng cách p,q,r với )

Đặt p, q, r. Dễ dàng đánh giá: $r\leq \frac{1}{8}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)\geq 3$

Tức là: $\frac{q}{r}-2p\geq 3$

Từ gt có: $q=1-2r$

Suy ra BĐT cần chứng minh tương đương với: $(2p+5)r\leq 1$

Đánh giá: $q^2\geq 3pr\Rightarrow p\leq \frac{(1-2r)^2}{3r}$

Thay vào biến đổi tương đương là xong!




#664591 Tồn tại hay không 100 tam thức bậc 2 với tính chất:...

Gửi bởi quanguefa trong 13-12-2016 - 23:14

Tồn tại hay không 100 tam thức bậc 2 với tính chất: mỗi tam thức đều có 2 nghiệm thực nhưng tổng của bất kì 2 tam thức khác nhau không có nghiệm thực


#664082 \[\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^...

Gửi bởi quanguefa trong 07-12-2016 - 19:55



Cho $a$, $b$ là các số thực dương, $n$ là một số nguyên dương lẻ. Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\]

Ta có BĐT sau: $\frac{a^k}{b^k}+\frac{b^k}{a^k}\geq \frac{a^{k-1}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k-1}}{a^{k-1}}\Leftrightarrow (a-b)(a^{2k-1}-b^{2k-1})\geq 0$

(BĐT luôn đúng vì $(a;b)$ và $(a^{2k-1};b^{2k-1})$ là 2 bộ cùng chiều)

Áp dụng BDT trên bằng cách ghép tương ứng các cặp k chẵn-lẻ (2 với 3, 4 với 5,... , n-1 với n). Ta được:

$S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra khi a=b




#664077 $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(a^...

Gửi bởi quanguefa trong 07-12-2016 - 19:31

Ta có: $\prod (a^2+b^2)=\sum a^2.\sum a^2b^2-a^2b^2c^2=(p^2-2q)(q^2-2pr)-r^2=(1-2q)(q^2-2r)-r^2$

Ta cần chứng minh: $S=r^2+2r(1-2q)+2q^3-q^2+\frac{1}{32}\geq 0$

Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$

Đến đây xét 2 trường hợp: 

TH1: $0<q<\frac{1}{4}$

Vì $r\geq 0$ nên: $S\geq 2q^3-q^2+\frac{1}{32}\geq 0$

TH2: $\frac{1}{4}\leq q\leq \frac{1}{3}$

Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}\Rightarrow r^2\geq \frac{(4q-1)^2}{81}$

Tới đây thế vào biểu thức S, đưa về hàm với biến q. Biến đổi tương đương hoặc tính đạo hàm (hàm đồng biến) là xong!




#663676 $(x ^2-x+c).Q(x)>0$ là đa thức với các hệ số đều dương

Gửi bởi quanguefa trong 02-12-2016 - 22:52

Cho $c>\frac{1}{4}$. Tìm đa thức Q(x) sao cho: $(x ^2-x+c).Q(x)>0$ là đa thức với các hệ số đều dương.




#663438 GBPT: $3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3\geq 0$

Gửi bởi quanguefa trong 30-11-2016 - 07:51

Giải bất phương trình:

$3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3\geq 0$

Ta sẽ chứng minh BPT đúng với mọi x bằng cách khảo sát hàm: $f(x)=3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3$

Ta có: $f'(x)=3^{2(x^2-1)}.ln3.4x-36.3^{x-3}.ln3$

$f'(x)=0\Leftrightarrow 3^{2(x^2-1)}.x=3^{x-1}\Leftrightarrow 3^{(2x+1)(x-1)}.x=1$ (1)

Xét hàm: $g(x)=3^{(2x+1)(x-1)}.x$

Có: $g'(x)=3^{(2x+1)(x-1)}(4ln3.x^2-ln3.x+1)>0$

g(x) đồng biến suy ra PT(1) có x=1 là nghiệm duy nhất. Từ đó ta cũng chứng minh được là với x>1 thì $f'(x)>0$, x<1 thì $f'(x)<0$

Lập BBT suy ra: $minf(x)=f(1)=0$, từ đó kết luận BPT đúng với mọi x thuộc R




#663418 $\sum \frac{a}{a+\sqrt{a^2+3bc}...

Gửi bởi quanguefa trong 29-11-2016 - 22:17

Cho a, b, c >= 0 nhưng không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{a^2+3bc}}\leq 1$




#663306 $1+4abc\left ( \sum \frac{a}{\left (...

Gửi bởi quanguefa trong 28-11-2016 - 20:58

Cho a,b,c>0;a+b+c=1

C/m:$\frac{13}{4}\left ( ab+bc+ca \right )\leq 1+4abc\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+1 \right )^{2}} \right )$

Ta có: $\sum \frac{a}{(a+1)^2}=\sum \frac{a^2}{a^3+2a^2+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3+2\sum a^2+\sum a}=\frac{1}{\sum a^3+2\sum a^2+1}$

Đăt p, q, r với p=1. Quy về chứng minh: $\frac{4r}{3r-7q+4}+1\geq \frac{13}{4}q\Leftrightarrow r(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0$

Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$

Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$

Có: $\frac{4q-1}{9}.(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0\Leftrightarrow (3q-1)(221q-116)\geq 0$ 

BĐT cuối đúng suy ra đpcm




#663131 $\sum_{cyc}a^{2}b^{2}(a+b)\leq 2...

Gửi bởi quanguefa trong 26-11-2016 - 21:23

Câu b. Chú ý: a+b=2-c. Sau đó nhân hết ra đặt p, q, r được biểu thức: 12r+qr+2>=2q^2
Tới đây dùng schur và xét 2 trường hợp q<1 và q>=1 là ra.

Sr mình onl ĐT ko latex được.


#660427 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Quảng Ngãi 2016-2017

Gửi bởi quanguefa trong 03-11-2016 - 15:01

Bài 7:

 

Chia tập S thành 3 tập con S1, S2, S3, với:

S1={1;4;7;...;2014}

- S1 gồm 672 số tự nhiên cùng đồng dư 1 trong phép chia cho 3

S2={2;5;8;...;2015}

- S2 gồm 672 số tự nhiên cùng đồng dư -1 trong phép chia cho 3

S3={3;6;9;...;2016}

- S3 gồm 672 số tự nhiên chia hết cho 3

Ta có: S1, S2, S3 không giao nhau và $S=S1\cup S2\cup S3$

Tập con A thỏa mãn đề bài được thành lập bằng cách chọn x phần tử của tập S1, y phần tử của tập S2 và z phần tử của tập S3

Theo đề ta có:

$\left\{\begin{matrix} x,y,z\epsilon [0;6] & \\ x+y+z=6 & \\ (x-z)\vdots 3 & \end{matrix}\right.$

$(x-z)\vdots 3\Rightarrow (x-z)=-6;-3;0;3;6$

Giải ra ta được: $(x;y;z)=(6;0;0), (0;0;6) (4;1;1), (1;1;4), (3;3;0) (0;3;3), (0;6;0), (1;4;1), (2;2;2), (3;0;3)$

Xét trường hợp: $(x;y;z)=(6;0;0)$. Khi đó số cách chọn tập A thỏa mãn là: 672C6.672C0.672C0=672C6

Các trường hợp còn lại tương tự, từ đó suy ra số tập A thỏa mãn...




#660423 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Quảng Ngãi 2016-2017

Gửi bởi quanguefa trong 03-11-2016 - 14:42

Đề ngày 2:

IMG_20161103_135101.jpg




#659387 Đề thi HSG 12 Tỉnh Quảng Ngãi 2016-2017

Gửi bởi quanguefa trong 26-10-2016 - 12:22

IMG_20161026_115905.jpg

Đề căng :'(
Hóng lời giải câu BĐT