quanguefa

Bài1:

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thoả mãn $x+y=26\sqrt{x-3}+3\sqrt{y-2013}+2016$. Tìm min, max:

$M=(x-1)^2+(y-1)^2+\frac{2016+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

 

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$. Tìm min:

$P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Bài 2

https://www.facebook...95&l=888aa5ed78

https://www.facebook...84&l=fec9f2c0a4

Bài 34:

Cho x, y, z thực dương: $x+y+1=z$

Tìm GTNN của: $P=\sum \frac{x^3}{x+yz}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

Đây là cách của mình, về bản chất cũng giống cách của bạn Hùng nhưng biến đổi khác 1 tý

Thay z=x+y+1 vào biểu thức ta có:

$\sum \frac{x^3}{x+yz}=\frac{x^3}{(x+y)(y+1)}+\frac{y^3}{(x+y)(x+1)}+\frac{z^3}{(x+1)(y+1)}$

                     $=\frac{x^3(x+1)+y^3(y+1)+z^3(x+y)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$

                     $=\frac{x^3+y^3+x^4+y^4+z^3(x+y)}{(x+y)(x+y+xy+1)}$

                     $\geq \frac{\frac{(x+y)^4}{8}+\frac{(x+y)^3}{4}+z^3(x+y)}{(x+y)[\frac{(x+y)^2}{4}+x+y+1]}$

                     $=\frac{(x+y)^3+2(x+y)^2+z^3}{2(x+y)^2+8x+8y+8}=\frac{(z-1)^2(z+1)+z^3}{2(z+1)^2}$

Phần còn lại làm giống bạn hùng

Bài 37. (trích đề KSCL Quảng Nam)

Cho a, b, c dương thỏa: $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$

Tìm GTNN: $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Theo Cauchy_Swatch ta có : $\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}\geq \frac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}=\frac{(x+y)^3}{2(x+y)(1+z)}=\frac{(x+y)^2}{2(z+1)}=\frac{(z-1)^2}{2(z+1)}$  (Do $x+y=z-1$)

 

 Mà $\frac{z^3}{z+xy}=\frac{4z^3}{4z+4xy}\geq \frac{4z^3}{4z+(x+y)^2}=\frac{4z^3}{4z+(z-1)^2}=\frac{4z^3}{(z+1)^2}$

 

  $(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}\leq (z+1).\frac{x+y+2}{2}=\frac{(z+1)(z-1+2)}{2}=\frac{(z+1)^2}{2}= > \frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$

 

Từ đó $= > P\geq \frac{(z-1)^2}{2(z+1)}+\frac{4z^3}{(z+1)^2}+\frac{28}{(z+1)^2}=> 2P\geq \frac{(z-1)^2}{z+1}+\frac{8z^3}{(z+1)^2}+\frac{56}{(z+1)^2}=\frac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}=f(z)$

 

  Ta chứng minh $f(z)\geq \frac{53}{4}< = > \frac{(z-1)^2(z+1)+8z^3+56}{(z+1)^2}\geq \frac{53}{4}$
$< = > \frac{9z^3-z^2-z+57}{z^2+2z+1}\geq \frac{53}{4}< = > 36z^3-4z^2-4z+228\geq 53z^2+106z+53$
$< = > 36z^3-57z^2-110z+175\geq 0< = > 12z^2(3z-5)+z(3z-5)-35(3z-5)\geq 0$
$< = > (3z-5)(12z^2+z-35)\geq 0< = > (3z-5)(4z(3z-5)+7(3z-5))\geq 0$
$< = > (3z-5)^2(4z+7)\geq 0$ (Luôn đúng)

 

 Do đó $2P\geq f(z)\geq \frac{53}{4}= > P\geq \frac{53}{8}= > P_{Min}=\frac{53}{8}< = > \left\{\begin{matrix} x=y & & \\ z=\frac{5}{3} & & \\ x+y+1=z & & \end{matrix}\right.< = > \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{3} & \\ z=\frac{5}{3} & \end{matrix}\right.$

Sr m.n mình ghi đề bị nhầm nhiều quá, để sửa lại ngay, ban hùng tự sửa đề làm luôn rồi mà lại ko nói :3

hùng ơi chỗ này hơi khó hiểu, giải thích giùm $\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}\geq \frac{(x+y)^3}{2(x+y+yz+xz)}$

phương pháp chuẩn hóa bất đẳng thức là gì vậy ai giải thích được ko

bạn xem ở đây http://diendantoanho...-chuẩn-hoa-bdt/

và đây: http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/

Nhìu tài liệu về BĐT cũng có nói tới cái này mà bạn

klq nhưng câu 35 chả mang dáng dấp đề đại học tý nào :3

Bài 34:

Cho x, y, z thực dương: $x+y+1=z$

Tìm GTNN của: $P=\sum \frac{x^3}{x+yz}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

hướng dẫn mình giải bất phương trình này đi, cái điều kiện mình ghi nhầm đó, không phải là $a+b+c=3$ đâu, phải là $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+ab+bc+ca=12$ mới đúng

Bài này mình nghĩ chỉ cần dồn biến là ra cả MIN, MAX

Đặt $t=ab+bc+ca$. Dễ dàng chứng minh $0\leq t\leq 3$

Ta có: $\sum a^2=\frac{12-t}{3}$,

           $\sum a=\sqrt{\sum a^2+2\sum ab}=\sqrt{\frac{12-t}{3}+2t}$

Thay vào biểu thức vào rút gọn thu được

           $P=f(t)=\frac{12-t}{\sqrt{15t+36}}+t$

Dễ dàng c/m: $f't)>0$ với t thuộc [0;2]

Từ đó suy ra min, max

Bài 24:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN của 

   $P=\frac{16}{\sqrt{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

 

_Đề thi thử Chu Văn An Sơn La_

Bài 24:

Đầu tiên ta chứng minh: $\sum x\geq \sum x^2y^2$

Ta có: $\sum x^2y^2=\frac{(\sum x^2)^{2}-\sum x^{4}}{2}=\frac{9-\sum x^{4}}{2}$

Cần chứng minh: $\frac{9-\sum x^{4}}{2}\leq\sum  x\Leftrightarrow 2\sum x+\sum x^4\geq 9$

BĐT này đúng nhờ đánh giá AM-GM: $x^4+x+x\geq 3x^2$

Từ đó ta có: $P\geq \frac{16}{\sqrt{\sum x+1}}+\frac{\frac{(\sum x)^2-\sum x^2}{2}+1}{\sum x}=\frac{16}{\sqrt{\sum x+1}}+\frac{(\sum x)^2-1}{2\sum x}$

Đặt $t=x+y+z$ $(t\leq 3)$. Khi đó: $P\geq f(t)=\frac{16}{\sqrt{t+1}}+\frac{t^2-1}{2t}$

Tính đạo hàm suy ra f(t) nghịch biến, suy ra: $f(t)_{min}=f(3)=\frac{28}{3}\Rightarrow P\geq \frac{28}{3}$

Vậy.... dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Sử dụng hơi nhiều dấu sigma các bạn thông cảm

Bài 33: (lớp toán Lý Thái Tổ, thi thử lần thứ 14 năm 2015).

Cho x, y, z thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\frac{3x^2+3y^2}{8}+\frac{2z}{x+y}-\frac{z^2+z}{(x+1)(y+1)}-\sqrt{3}z$

Bài 31: (THPT Hàn Thuyên lần 1)

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $x>2$, $y>1$, $z>0$

Tìm giá trị lớn nhất của:

 

$P= \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}$

Bài 31: Dạng này xuất hiện trong nhiều đề thi thử rồi, trong tuyển tập bộ 3 câu khó của VMF cũng xuất hiện

Cho $x\geq 1,y\geq 1,z>0$ thỏa mãn $x+y+xyz=xy$

Tìm $MinP=\sqrt{(x-1)(y-1)}+\frac{18xy}{x+y+2xyz}$

Ta có: $z=1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-z< 1$

$P=\sqrt{(x-1)(y-1)}+\frac{18xy}{x+y+2xyz}=\sqrt{xy-(x+y)+1}+\frac{18xy}{2xy-(x+y)}=\sqrt{xy}.\sqrt{1-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{xy}}+\frac{18}{2-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}$

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}$ ($a,b\leq 1$;  $a+b< 1$)

Khi đó: $P=\frac{18}{2-(a+b)}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\sqrt{1-(a+b)+ab}=\frac{18}{2-(a+b)}+\sqrt{\frac{1-(a+b)}{ab}+1}\geq \frac{18}{2-(a+b)}+\sqrt{\frac{4[1-(a+b)]}{(a+b)^{2}}+1}$

Đặt t=a+b, ta có t<1. Và: $P=f(t)=\sqrt{\frac{4(1-t)}{t^2}+1}+\frac{18}{2-t}$

Tính đạo hàm và lập BBT thu được: $f(t)_{min}=f(\frac{1}{2})=15\Rightarrow P\geq 15$

Đẳng thức xảy ra khi: x=y=4, z=0,5

Cho 2 số thực a,b thỏa mãn $a+b+25=8(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-5})$

Tìm Min, Max của $P=\sqrt{(a-1)(b-5)}$

Câu 5 đề hsg tỉnh quảng ngãi

Mình đã giải chi tiết min, max tại đây: http://diendantoanho...16/#entry626130

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN

______________   

Thời gian: 180 phút 

Ngày thi: 06-04-2016

 

 

 

Bài 5 (3,0 điểm). Cho 2 số thực x, y thỏa mãn điều kiện $x+y+25=8(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5})$

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P=\sqrt{(x-1)(y-5)}$

 

 

Em xin chém câu 5.

Đầu tiên đặt:$a=\sqrt{x-1}, b=\sqrt{y-5}$

Suy ra: $a^{2}+b^{2}+31=8(a+b)$    $(*)$ và $P=ab$

Đến đây ta có dạng khá quen thuộc và thật sự nếu có máy tính thì khỏe @@

Tư tưởng chung cho dạng này là đặt S, P. Thay vì thế nếu quen tay ta dồn biến cho tiện. 

Đặt: $t=a^{2}+b^{2}$. Ta có: 

$a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Leftrightarrow \frac{t+31}{8}\leq \sqrt{2t}\Leftrightarrow 33-8\sqrt{2}\leq t\leq 33+8\sqrt{2}$

Mà: $P=\frac{(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}=\frac{(\frac{t+31}{8})^{2}-t}{2}=\frac{t^{2}-2t+961}{128}$

Xét hàm: $f(t)=t^{2}-2t$ với $33-8\sqrt{2}\leq t\leq 33+8\sqrt{2}$

Hàm đồng biến trên đoạn đang xét, suy ra: $f(33-8\sqrt{2})\leq f(t)\leq f(33+8\sqrt{2})$ (chỗ này có thể lập bảng biến thiên của tam thức bậc 2 cũng được)

Từ đó suy ra: $\frac{33-8\sqrt{2}}{2}\leq P\leq \frac{33+8\sqrt{2}}{2}$

Đến đây tìm điểm rơi dựa vào điểm rơi của t và $(*)$

P/S: h mới thấy đặt $t=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ thì tính toán sẽ đơn giản hơn.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN

______________   

Thời gian: 180 phút 

Ngày thi: 06-04-2016

Bài 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:

1.$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^{2}-x-3$

2.$\frac{2+\sqrt{2}}{cos2x\sqrt{tanx+cot2x}}=\frac{\sqrt{2}}{cos2x}+2tan2x$

Bài 2 (4,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-\frac{2xy}{x-y}=1 & \\ \sqrt{x-y}=x^{2}+y-4 & \end{matrix}\right.$

2. Cho dãy $(u_n)$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_1=1,u_2=3 & \\ u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n+1 & \end{matrix}\right.$

Tính $lim\frac{u_n}{n^{2}}$

Bài 3 (4,0 điểm).

1. Một trường THPT có 20 học sinh tiêu biểu, trong đó có 5 học sinh lớp 10, 6 học sinh lớp 11 và 9 học sinh lớp 12. Ban chấp hành đoàn trường chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ 20 học sinh đó để đi dự trại hè của thành phố. Tính xác suất để ban chấp hành đoàn trường chọn được 8 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.

2. Cho khai triển: $(1+x+x^{2}+...+x^{2015})^{2016}=a_0+a_1x+a_2x^{2}+...+a_{4062240}x^{4062240}$

Tính giá trị của biểu thức: $T=C_{2016}^{0}a_{2016}-C_{2016}^{1}a_{2015}+C_{2016}^{2}a_{2014}-...+C_{2016}^{2016}a_{0}$

Bài 4 (5,0 điểm).

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): $x+y+2=0$ và đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc (d). Qua M kẻ tiếp tuyến MA với (C) (A là tiếp điểm) và một cát tuyến cắt (C) tại B và C (B nằm giữa M và C). Tìm tọa độ điểm M biết tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng 5.

2. Cho tứ diện S.ABC có SA và SB vuông góc với nhau, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC. Chứng minh: $6(SA^2+SB^2+SC^2)\geq (AB+BC+CA)^{2}$

Bài 5 (3,0 điểm). Cho 2 số thực x, y thỏa mãn điều kiện $x+y+25=8(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5})$

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: $P=\sqrt{(x-1)(y-5)}$

P/s: Đề khá nhẹ, có câu Oxy khá hay và câu bất đẳng thức là hơi rối.

Thi từ mùng 6 nhưng đến giờ mới dám nhìn lại cái đề :'(

Trong phòng thi mình chỉ bỏ câu hệ (quen dùng máy tính giải hệ, không có máy tính không phân tích nhân tử được, đáng tiếc). Cứ tưởng vậy cũng ngon rồi nào ngờ về nhà kiểm tra thì sai lượng giác (đặt ẩn phụ xong quên bình phương), sai tổ hợp (sai cực ngu, chỉ tính đúng omega còn lại sai hết), câu BĐT mình tìm được cực trị nhưng chưa kịp xác định được điểm rơi. Tạch...

Cho $a^{2}+b^{2}=4a+2b+540$. Tìm GTLN của: T=23a+4b

Mình giải theo tam thức bậc 2 nhưng cách giải đó biến đổi rất rắc rối, hy vọng có cách giải đẹp hơn..