Pino

Cho $a,b,c>0$. 

 

CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} > 4$

Ta có:

     $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$

Bài 10: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab^2+bc^2+ca^2=3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                            $\mathbb P= a^4+b^4+c^4.$

b)Tìm $\min Q=xy(x-2)(y+6)+12x^{2}-24x+3y^{2}+18y+36$

Ta có:

  $Q= (x-1)^2(y+3)^2+3(x-1)^2+2(y+3)^2+6 \ge 6.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1;y=-3.$

a)Tìm max của $A=(3-x)(4-y)(2x+3y)$ với $0 \le x \le 3$ và $0 \le y \le 4$

Theo AM - GM, ta có:

  $A=\frac{1}{6}(6-2x)(12-3y)(2x+3y) \le \frac{1}{6}.\frac{(6-2x+12-3y+2x+3y)^3}{27}=36.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

    $6-2x=12-3y=2x+3y \Leftrightarrow x=0;y=2.$

2/Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+2y+3z=18$.Chứng minh:

         $ \frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}$

Ta có:

     $ \frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}$

$=\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1-3$

$=(x+2y+3z+6)( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z}) -3$

$\ge 24. \frac{9}{x+2y+3z+3}-3=24.\frac{9}{21}-3=\frac{51}{7}$