Đến nội dung

Pino

Pino

Đăng ký: 08-08-2015
Offline Đăng nhập: 31-10-2015 - 07:14
*****

#589832 $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+...

Gửi bởi Pino trong 19-09-2015 - 21:20

Cho $a,b,c>0$. 

 

CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} > 4$

Ta có:

     $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$

$= \frac{a}{b+c}+1+\frac{4b}{c+a}+4+\frac{9c}{a+b}+9-14$
$= (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{9}{a+b})-14$
$\ge (a+b+c)[\underbrace{\frac{(1+2+3)^2}{2(a+b+c)}}_{Cauchy - Schwarz}]-14=18-14=4$
Đẳng thức không xảy ra do đó: ta có đpcm..
            



#589766 Max $A=(3-x)(4-y)(2x+3y)$ với $0\leqslant x\leqslant...

Gửi bởi Pino trong 19-09-2015 - 13:03

b)Tìm $\min Q=xy(x-2)(y+6)+12x^{2}-24x+3y^{2}+18y+36$

Ta có:

  $Q= (x-1)^2(y+3)^2+3(x-1)^2+2(y+3)^2+6 \ge 6.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1;y=-3.$




#589759 Max $A=(3-x)(4-y)(2x+3y)$ với $0\leqslant x\leqslant...

Gửi bởi Pino trong 19-09-2015 - 12:34

a)Tìm max của $A=(3-x)(4-y)(2x+3y)$ với $0 \le x \le 3$ và $0 \le y \le 4$

Theo AM - GM, ta có:

  $A=\frac{1}{6}(6-2x)(12-3y)(2x+3y) \le \frac{1}{6}.\frac{(6-2x+12-3y+2x+3y)^3}{27}=36.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

    $6-2x=12-3y=2x+3y \Leftrightarrow x=0;y=2.$




#589750 Cho $x,y,z>0$ và $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$.Tìm Max của:...

Gửi bởi Pino trong 19-09-2015 - 11:10

2/Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+2y+3z=18$.Chứng minh:

         $ \frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}$

Ta có:

     $ \frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}$

$=\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1-3$

$=(x+2y+3z+6)( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z}) -3$

$\ge 24. \frac{9}{x+2y+3z+3}-3=24.\frac{9}{21}-3=\frac{51}{7}$




#589726 Tìm số có 2 chữ số sao cho bình phương số đó bằng lập phương tổng các chữ số...

Gửi bởi Pino trong 18-09-2015 - 23:35

Gọi số cần tìm là: $\overline{ab}$ 

Giải phương trình nghiệm nguyên: $(10a+b)^2=a^3+b^3$  với chú ý $(a,b \in [0;9];a,b \in \mathbb N)$ là Ok...




#588015 Giải pt: $\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+.....+...

Gửi bởi Pino trong 09-09-2015 - 09:14

Bài 1: Giải pt:

$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+.....+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}} = x$ ( với $x \epsilon N$)

 

 

      $\sqrt{x+2\underset{x}{\underbrace {\sqrt{x+2\sqrt{x+.....+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}}} = x$  ( với $x \in \mathbb N$)
$\Leftrightarrow \sqrt{x+2x}=x$
$\Leftrightarrow x^2=3x$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=3 \end{array} \right.$



#587992 $P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}...

Gửi bởi Pino trong 08-09-2015 - 22:35

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta có:
  $(a+b+c)^2 \le (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$ 
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
  $(a+1)(b+1)(c+1) \le \frac{(a+b+c)^3}{3}$
Suy ra:
  $\mathbb P \le \frac{1}{\sqrt{(a+b+c)^2+1}}-\frac{6}{(a+b+c)^3}$
Đặt $t=a+b+c,t>0,$ ta có:
  $\mathbb P \le \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}-\frac{6}{t^3}=f(t)$
Xét hàm số $f(t)$ với $t>0$ là $\mathbb {OK..}$



#587163 GHPT: $\left\{\begin{matrix}\sqrt...

Gửi bởi Pino trong 04-09-2015 - 11:42

HD:

Ta có:    $pt1\Leftrightarrow \sqrt{\left ( \sqrt[4]{x-1} \right )^{4}+2}+\sqrt[4]{x-1}=\sqrt{y^{4}+2}+y$

Xét hàm số: $f\left ( t \right )=\sqrt{t^{4}+2}+t$

Hàm số $f(t)=\sqrt{t^4+2}+t$ không đồng biến $\forall t \in \mathbb R,$ vì vậy, việc xét hàm sẽ không được. Để xét hàm $f(t)$ đồng biến cần chứng minh được hệ phương trình vô nghiệm khi $y<0$ để có được $t>0,f(t)$ mới đồng biến.. Giải thế thì chưa giải quyết được bài toán.




#586995 Giải phương trình $x^3-6x^2+12x+15=4$

Gửi bởi Pino trong 03-09-2015 - 15:23

      $x^3-6x^2+12x+15=4$
$\Leftrightarrow (x-2)^3=-19$
$\Leftrightarrow x-2=-\sqrt[3]{19}$
$\Leftrightarrow \color{red}{\boxed{x=2-\sqrt[3]{19}}}$ 



#586918 $\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]...

Gửi bởi Pino trong 02-09-2015 - 22:47

Giải phương trình :

$\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}$

    $\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}$    $(\star)$
Điều kiện: $0 \le x \le 1.$
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
 $\star$    $(\sqrt{x} + \sqrt{1 - x})^2 \le (1^2+1^2)(x+1-x)=2$
$\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} \le \sqrt 2$
 $\star$    $(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x})^2 \le (1^2+1^2)(\sqrt{x} + \sqrt{1 - x})=2 \sqrt 2$
$\Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} \le \sqrt [4] {8}$
Do đó: $(\star)\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}.$



#586601 Lập qui trình tính tổng sau: $1+\frac{1}{\sqrt...

Gửi bởi Pino trong 01-09-2015 - 15:24

Mà máy tính bấm kiểu này cũng được: $\sum_{x=1}^{100} (\frac{1}{\sqrt X}) ..\boxed{=}$ (đợi cỡ vài giây là có kết quả)




#586599 Lập qui trình tính tổng sau: $1+\frac{1}{\sqrt...

Gửi bởi Pino trong 01-09-2015 - 15:18

Quy trình bấm máy như sau:
  $0\rightarrow X; 0\rightarrow A$   (trong đó $X$ là biến chạy, $A$ là biến tính tổng)
  $X=X+1:A=A+\frac{1}{\sqrt X}\rightarrow \boxed{=}.. \boxed{=}.....$ đến khi biến $X$ nhận giá trị $100$ thì dừng lại và được kết quả là $A$ (hiện trên màn hình)



#586594 giải phương trình: $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Gửi bởi Pino trong 01-09-2015 - 15:01

Cách đơn giản nhất là tìm TXĐ sau đó bình phương hai vế và phân tích thành nhân tử.

Sau khi biến đổi, thu được:

Phương trình thứ nhất: $(x-2)(x^2+x-1)(x^3+x^2-2x-1)=0$

Phương trình thứ hai: $(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=0$

Giải như thế này không ổn lắm vì vừa mất thời gian nhiều, vừa phải giải các phương trình bậc cao không có nghiệm đẹp... Để giải được phương trình bậc 3 ít nhất cũng phải dùng phương pháp Carđanô, mà cái này thì không học trong chương trình Toán phổ thông .....




#586591 giải phương trình: $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Gửi bởi Pino trong 01-09-2015 - 14:55

$4x^{3}-3x=\sqrt{1-x^{2}}$

Điều kiện: $-1\leq x\leq 1.$
Đặt $x=\cos t,t \in [0; \pi]$ phương trình đã cho tương đương với:
          $\sqrt{1-\cos^{2} t}=4\cos^{3}t-3\cos t $
      $\Leftrightarrow \sin t=\cos 3t$
      $\Leftrightarrow \cos (t-\frac{\pi}{2})=\cos 3t$
      $\Leftrightarrow t-\frac{\pi}{2}=\pm 3t+k.2\pi$  $k\in Z.$ 
     $\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} t=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\ t=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right.$
     $\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} t=\frac{3 \pi}{4} \\ t=\frac{ \pi}{8} \\ t=\frac{ 5\pi}{8} \end{array} \right.$
Do đó: $\color{red}{x=-\frac{\sqrt 2}{2};x= \cos \frac{\pi}{8};x= \cos \frac{5\pi}{8}.}$ 



#586587 giải phương trình: $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Gửi bởi Pino trong 01-09-2015 - 14:43

$x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Điều kiện: $x\geq -2.$
* Với $x>2\Rightarrow x^3-3x=x+x(x^2-4)>x>\sqrt{x+2}\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.
*Với $-2\leq x\leq 2,$ đặt $x=2\cos t, t\in \left[ {0;\pi } \right].$
  Khi đó phương trình đã cho trở thành:
       $8\cos^3t-6\cos t=\sqrt{2+2\cos t}$
 $\Leftrightarrow \cos3 t=\cos\frac{t}{2}\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} t=0 \\ t=\frac{4\pi }{5} \\ t=\frac{4\pi }{7} \end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $\color{red}{x=2; x=\cos \frac{4\pi }{5}; x=\cos \frac{4\pi }{7}}.$