buibichlien

Có : $P=\frac{3x^3}{y}+\frac{10}{9y}+\frac{3y^2}{8x}+\frac{1}{2x} \\ =(\frac{3x^3}{y}+\frac{y}{2}+\frac{2}{3})+(\frac{3y^2}{8x}+\frac{3x}{2})+(\frac{10}{9y}+\frac{5y}{8})+(\frac{1}{2x}+\frac{9x}{8})+\frac{3}{8}(x+y)-\frac{2}{3}-\frac{3y}{2}-3x \\ \geq 3x+\frac{3y}{2}+\frac{5}{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{8}.2-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{3y}{2}-3x=\frac{13}{4} $
Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{2}{3}; y=\frac{4}{3}$

$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{(\sum\sqrt{x})^2}{2(x+y+z)}\ge \frac{9\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}$
$\Rightarrow dpcm$

Làm thế nào để $\rightarrow đpcm$ vậy bạn. Mình chưa hiểu lắm 

Mình làm thế này, nhưng hình như là giống cậu trên   
$x\geq y\geq z \rightarrow \frac{1}{x(x+1)}\leq \frac{1}{y(y+1)}\leq \frac{1}{z(z+1)}$
Bất cần chứng minh tương đương với :
$\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{z-y}{z(z+1)}+\frac{x-z}{x(x+1)}\leq 0$
$\leftrightarrow x(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{y(y+1)})+y(\frac{1}{y(y+1)}-\frac{1}{z(z+1)})+z(\frac{1}{z(z+1)}-\frac{1}{x(x+1)})\leq 0$
$\leftrightarrow (x-y)(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{y(y+1)})+(y-z)(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{z(z+1)})\leq 0$ (luôn đúng theo giả sử).

sử dụng bđt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$

(dễ dàng chứng minh : sử dụng bđt Cauchy-Schwarz)

Áp dụng vào bài thì có

P=$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ đề bạn ra thế nào ấy ??

Đấy là do bđt còn có điều kiện ràng buộc $a(a-2)+b(b-2)=0$ nên không thể dễ dàng làm thế được.

Bài này mình nghĩ chứng minh dãy số tăng và không bị chặn trên. Suy ra giới hạn dãy số cần tìm

Ừ nhưng mà làm như nào