phuocchubeo

Em có 1 dãy ạ

$2,9,3,8,13,18,25,5,10,15,22,29,34,39,44,49,7,14$

Câu $1$:

Dễ thấy $(a,b,c) \mid (ab+c,bc+a,ca+b)$.

Ta cần chứng minh $(ab+c,bc+a,ca+b) \mid (a,b,c)$.

Thật vậy, đặt $(ab+c,bc+a,ca+b)=d$.

Ta có: $d \mid a^2(ca+b)-a(ab+c) \Rightarrow d \mid ac(a^2-1)$. Tương tự ta có $d \mid ac(c^2-1)$.

Ta cũng có $d \mid ab(bc+a)- a(ab+c) \Rightarrow d \mid ac(b^2-1)$.

Như vậy ta có: $\left\{\begin{matrix} d \mid ac(a^2-1)\\ d \mid ac(c^2-1)\\ d\mid ac(b^2-1) \end{matrix}\right.$

Ta lại có $(a^2-1,b^2-1,c^2-1)=1$ nên dễ thấy $d \mid ac$ mà $d \mid ac+b$ nên $d \mid b$.

Tương tự ta có $d \mid a, d \mid c$.

Như vậy $d \mid (a,b,c)$.

Ta có điều phải chứng minh.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có:

$a^3+b^3+c^3-9= (a^3-8)+(b^3-1)+c^3=(a-2)(a^2+2a+4)+(b-1)(b^2+b+1)+c^3=(a-2)(a^2+2a+4)+(2-a-c)(b^2+b+1)+c^3=(a-2)(a^2+2a+3-b^2-b)+c(c^2-b^2-b-1)\leq 0$

Đặt $u=a+b\sqrt{5}; v=c+d\sqrt{5}$

Ta có $(a+b\sqrt{5})^4+(c+d\sqrt{5})^4=2+\sqrt{5}$

Sử dụng bổ đề sau:

Với $x,y\in Q, z\in I,x=yz$ thì ta có $x=y=0$

Chứng minh được:

$(a-b\sqrt{5})^4+(c-d\sqrt{5})^4=2-\sqrt{5}$

Nhưng điều trên vố lí do $VT\geq 0 ; VP <0$.

Như vậy không tìm được $u,v$.

Dễ thấy bất đẳng thức: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq\frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Ta có: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\geq\frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}$

$\Rightarrow VT\geq\frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}$

Đặt $x=\sqrt{\frac{c}{a}}$

Có $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq2 \Rightarrow \frac{1}{2}\leq x \leq 2$

Đến đây ta biến đổi tương đương.