phuocchubeo

Em có 1 dãy ạ

$2,9,3,8,13,18,25,5,10,15,22,29,34,39,44,49,7,14$

Câu $1$:

Dễ thấy $(a,b,c) \mid (ab+c,bc+a,ca+b)$.

Ta cần chứng minh $(ab+c,bc+a,ca+b) \mid (a,b,c)$.

Thật vậy, đặt $(ab+c,bc+a,ca+b)=d$.

Ta có: $d \mid a^2(ca+b)-a(ab+c) \Rightarrow d \mid ac(a^2-1)$. Tương tự ta có $d \mid ac(c^2-1)$.

Ta cũng có $d \mid ab(bc+a)- a(ab+c) \Rightarrow d \mid ac(b^2-1)$.

Như vậy ta có: $\left\{\begin{matrix} d \mid ac(a^2-1)\\ d \mid ac(c^2-1)\\ d\mid ac(b^2-1) \end{matrix}\right.$

Ta lại có $(a^2-1,b^2-1,c^2-1)=1$ nên dễ thấy $d \mid ac$ mà $d \mid ac+b$ nên $d \mid b$.

Tương tự ta có $d \mid a, d \mid c$.

Như vậy $d \mid (a,b,c)$.

Ta có điều phải chứng minh.

Đặt $u=a+b\sqrt{5}; v=c+d\sqrt{5}$

Ta có $(a+b\sqrt{5})^4+(c+d\sqrt{5})^4=2+\sqrt{5}$

Sử dụng bổ đề sau:

Với $x,y\in Q, z\in I,x=yz$ thì ta có $x=y=0$

Chứng minh được:

$(a-b\sqrt{5})^4+(c-d\sqrt{5})^4=2-\sqrt{5}$

Nhưng điều trên vố lí do $VT\geq 0 ; VP <0$.

Như vậy không tìm được $u,v$.

Cho $x,y,z>0$ và $x+y \leq z$. Tìm Min của 

$(x^{4}+y^{4}+z^{4})(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}})$

$x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq\frac{(x+y)^4}{8}$

$\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}\geq\frac{2}{(xy)^2}\geq\frac{32}{(x+y)^4}$

$\Rightarrow VT\geq [\frac{(x+y)^4}{8}+z^4][\frac{32}{(x+y)^4}+\frac{1}{z^4}]=5+32\frac{z^4}{(x+y)^4}+\frac{(x+y)^4}{8z^4}=5+\frac{1}{8}[\frac{(x+y)^4}{z^4}+\frac{z^4}{(x+y)^4}]+\frac{255}{8}\times\frac{z^4}{(x+y)^4}\geq5+\frac{1}{4}+\frac{255}{8}=\frac{297}{8}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{z}{2}$

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{sym} ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{2}\geq\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $x\in R$ thỏa mãn $0\leq x\leq 3$ tìm GTNN và GTLN của:

$x\sqrt{5-x}+(3-x)\sqrt{2+x}$

Cho $a,b,c >0$, chứng minh:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2$

Cho các số $a,b,c>0$; $a+b+c+abc=4$.

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Bài $1$: Cho $a,b,c>0; a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$. Chứng minh:

$(a^{2}+b^{2}+abc)(b^{2}+c^{2}+abc)(c^{2}+a^{2}+abc)\geq 3abc(a+b+c)^{2}$

Bài $2$: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh:

$\frac{1+xz+yz}{(1+x+y)^{2}}+\frac{1+xy+zy}{(1+x+z)^{2}}+\frac{1+yx+zx}{(1+y+z)^{2}}\geq 1$

Cảm ơn bạn nhiều nha!!!

Nhưng mà mình không hiểu lắm

Ở đoạn cuối làm sao suy ra "a" được???

$\Delta = (-8)^{2}-4(-2)1=72$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{8+\sqrt{72}}{2}=4+3\sqrt{2}\\ x=\frac{8-\sqrt{72}}{2}=4-3\sqrt{2} \end{bmatrix}$

Công thức nghiện này trong sách lớp 9 nha.

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M dến Ab và AC.I là trung điểm của DE. Khi M chuyển động trên BC thì I chuyển động trên đưởng nào

 geogebra-export (1).png   21.91K   36 Số lần tải

Ta sẽ chứng minh $I$ chuyển động trên đường trung bình $\triangle ABC$.

Gọi $P$ là trung điểm $AB$, $Q$ là trung điểm $AC$. Khi đó $PQ$ là đường trung bình $\triangle ABC$.

Hình chữ nhật $ADME$ có $I$ là trung điểm đường chéo $DE$ $\Rightarrow I$ là trung điểm đường chéo $AM$.

$\triangle AMB$ có $I$ là trung điểm $AM$, $P$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow PM$ là đường trung bình $\triangle AMB$.

$\Rightarrow PI \parallel MB \Rightarrow PI \parallel BC$

Tương tự ta có $QI \parallel BC$

Theo định lí Euclid thì $P,Q,I$ thẳng hàng.

$\Rightarrow I \in PQ$(đpcm)

Mặc dù hết hạn rồi nhưng em mới học nên cũng thử sức làm phần $(1),$ đúng sai mọi người cứ ném đá. 

Bài toán có thể phát biểu lại: Mọi đường thẳng $y=x+n$ với $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$ không đi qua bất kì iểm nguyên nào hay phương trình $y=x+n$ không có nghiệm nguyên.

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(x_0,y_0$) thì $x_0,y_0\in \mathbb{Z}$ và $y_0=x_0+n$ suy ra $n\in \mathbb{Z}$ mà $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$ nên $n\notin \mathbb{Z}.$

Vậy ta có đpcm.

Bạn à, bài này mình cũng nghĩ nên cho tất cả các điểm trong đường tròn của đề bài vào trong khoảng giữa hai đoạn thẳng song song và cùng cách đều đường thẳng $y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$ một khoảng bằng $\frac{1}{8}$. Thế nhưng có vẻ như cách tính của bạn hơi "đơn giản" quá. Vì mình cũng mới học về vấn đề này nên xin mạn phép nêu cách chặn $n$ như sau:

Đầu tiên ta thấy điểm $A(0;\frac{1}{\sqrt{2}})\in$ đồ thị hàm số.

Ta sẽ tìm điểm $B$ thuộc đường thẳng $y=a'x+b'$ vuông góc với đường thẳng đã cho và cách $A$ một khoảng bằng $\frac{1}{8}$.

- Tìm đường thẳng $y=a'x+b'$:

Có đường thẳng này vuông góc với $y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $a\times a'=-1\Rightarrow a'=-1\Rightarrow y=-x+b'$ mà  $A(0;\frac{1}{\sqrt{2}})$ thuộc đường thẳng nên $\frac{1}{\sqrt{2}}=-0+b'\Rightarrow b'=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Từ đó ta có đường thẳng có phương trình :$y=-x+\frac{1}{\sqrt{2}}$.

-Tìm điểm $B$

Ta có tọa độ của điểm $B$ sẽ là $(x;-x+\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Có $AB=\frac{1}{8}$ nên $\sqrt{(x-0)^{2}+(-x+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}}=\frac{1}{8}\Rightarrow \begin{bmatrix} x =\frac{1}{8\sqrt{2}}\\ x =\frac{-1}{8\sqrt{2}} \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{9}{8\sqrt{2}}\\ y=\frac{7}{8\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

Ta có hai đường thẳng song song với $y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$ chứa $C(\frac{1}{8\sqrt{2}};\frac{9}{8\sqrt{2}})$ và $D(\frac{-1}{8\sqrt{2}};\frac{7}{8\sqrt{2}})$ chính là hai biên của khoảng cần tìm.

Ta tính ra được hai đoạn thẳng đó là $y=x+\frac{3}{4\sqrt{2}}$ và $y=x+\frac{5}{4\sqrt{2}}$.

Như vậy $\frac{3}{4\sqrt{2}}\leq n \leq \frac{5}{4\sqrt{2}}$ chứ không phải là  $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$  nha.

 

À mà mình cũng đang theo đội tuyển toán ở Hải Dương. Ở đây thì ít tấm gương lắm. Cho mình làm quen trao đổi kinh nghiệm được không?

Bài này dùng quy nạp thôi bạn.

*)Xét mệnh đề với n=1 ta có:

$(n+1)(n+2)...(3n)=2.3=6\vdots 3^{1}$

Suy ra mệnh đề đúng với n=1.

*) Ta giả sử với n=k$(k \in N^{*} )$ thì mệnh đề đúng.

$\Rightarrow (k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k}$

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Thật vậy, ta có với n=k+1 thì

$(n+1)(n+2)..(3n)=(k+2)(k+3)...(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3)=3.(k+1)(k+2)(k+3)...(3k)(3k+1)(3k+2)$

Mà $(k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k}$

$\Rightarrow 3(k+1)(k+2)...(3k)\vdots 3^{k+1}$

$\Rightarrow (n+1)(n+2)...(3n)\vdots 3^{k+1}$

Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1

Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có đpcm.

Ta đặt: 

$ab=a\sqrt{x}b\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant \frac{a^{2}x+b^{2}\frac{1}{x}}{2}$

$bc=b\sqrt{x}c\frac{1}{\sqrt{x}}\leqslant \frac{b^{2}\frac{1}{x}+c^{2}x}{2}$   

$3ac\leqslant \frac{3a^{2}+3c^{2}}{2}$

$\Rightarrow ab+bc+3ca\leqslant \frac{a^{2}(x+3)+c^{2}(x+3)+b^{2}\cdot \frac{2}{x}}{2}$

Ta sẽ tìm x>0 sao cho $\frac{2}{x}=x+3$

$\Leftrightarrow 2=x^{2}+3x$

$\Leftrightarrow x^{2}+3x+\frac{9}{4}=2+\frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow (x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{17}{4}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$ (do x>0)

$\Rightarrow ab+bc+3ac\leqslant \frac{\sqrt{17}-3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{4}{\sqrt{17}-3}$ (do $ab+bc+3ac=1$)

Dấu "=" xảy ra thì bạn tự tìm nha.

Câu 1:(1,25 điểm)

a) Tính (không dùng máy tính cầm tay):

$A=3\tfrac{1}{2379}\cdot \frac{4}{1111}-\frac{2378}{2379}\cdot \frac{1}{1111}-\frac{5}{2379.1111}$

b) Xác định số p để đa thức $B=x^{3}+y^{3}+z^{3}+pxyz$ chia hết cho đa thức $C=x+y+z$

Câu 2:(2,25 điểm)  Giải các phương trình:

a) $\frac{12x-3x^{2}-11}{x^{2}-4x+5}=2y(y+2)$

b)$\left | x-2 \right |-x=2m$ (m là hằng số)

c)$xy^{2}+2xy-243y+x=0$ $(x,y\in N^{*})$

Câu 3:(2 điểm)

a) Chứng minh số $a= 2^{2^{2016}}+11$ là hợp số.

b) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B, đi ngược chiều nhau với vận tốc không đổi. Xe I đi từ A đến B rồi trở về A còn xe II đi từ B đến A rồi trở về B. Hai xe lần đầu gặp nhau tại một địa điểm cách A là 40km và lần thứ hai gặp nhau tại một điểm cách B là 10km. Tính quãng đường từ A đến B, biết hai xe gặp nhau khi đang đi ngược chiều nhau.

Câu 4:(3 điểm)

1) Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng BC và CD lần lượt tại E và F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm  AE và AF.

   a) Chứng minh : $AE.AF= BD^{2}$

   b) Gọi H là trực tâm tam giác MNC. Chứng minh H là trung điểm OA.

2) Một con sông có hai bờ song song. Hai điểm P và Q nằm ở hai bên bờ sông. Tìm cách bắc cầu vuông góc với bờ sông để quãng đường từ P đến Q là ngắn nhất.

Câu 5:(1,5 điểm)

a) Cho x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh $y+z\geqslant 16xyz$

b) Cho  $C=(1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{2015}+x^{2016})(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{2015}+x^{2016})$

Khai triển và ước lược các số hạng đồng dạng ta có thể viết:

$C=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{4032}x^{4032}$

Tính $D=a_{2015}+a_{2016}$

Mình thấy bài 2b cứ kì kì sao ấy. Mọi người có gì sửa giúp đề bài đó với.