duongduong352481980

Untitled.png

Giải

$1)$ Theo định lí Pytago ta có

$OM^2=OA^2+AM^2=OH^2+MH^2$

$ON^2=OB^2+BN^2=OH^2+NH^2$

$\Rightarrow AM^2-BN^2=MH^2-NH^2$ (do $OA=OB$)

$\Leftrightarrow (AM-BN)(AM+BN)=(MH-NH)(MH+NH)\Leftrightarrow MN(AM-BN)=MN(MH-NH)$

$\Leftrightarrow AM-BN=MH-NH$

Lại có $AM+BN=MN=MH+NH$ nên dễ dàng suy ra đpcm

$2)$ Áp dụng định lí Pytago ta có

$OH^2=OM^2-MH^2=OM^2-AM^2=OA^2=OB^2$$\Leftrightarrow OH=OA=OB=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại $H$

Mà $A,B$ cố định $\Rightarrow H \in (O;OA)$ cố định 

Câu 2 giải sai rồi nhé!

Các bạn tham khảo lời giải trên AOPS nhé! IMO Shortlits 2002 bài A3

Đề nguyên bản là thay 2015 bởi 2011 nhé!(Hải Phòng 2011-2012).

Gọi A là số bất kỳ thộc tập N. Đặt A=$a_{1}$$a_{2}$...$a_{2015}$