Hannie

Cho $x,y,z>0,x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Đề thi tuyển sinh lớp 10 Quảng Bình (Dành cho chuyên toán)

Câu 1. Cho biểu thức $P=\left(\dfrac{\sqrt{a}-4}{a-2\sqrt{a}}+\dfrac{3}{\sqrt{a}-2}\right).\left(a-\sqrt{a}-2\right)$ với $a>0,a\neq 4$
a) Rút gọn biểu thức $P$
b) Tính giá trị của P khi $a=\dfrac{\left(3\sqrt{2}+4\right)\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1}$
Câu 2.
a) Giải phương trình: $\frac{1}{x^{2}}+\sqrt{2x+2017}=\frac{1}{x}+\sqrt{3x+2016}$
b) Cho phương trình: $x^{2}-2(2m+1)x+m^{2}+8=0\ \ \ (1)$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thoả mãn:

$\left [ x_{1}^{2}-(4m+1)x_{1}+m^{2} \right ]\left [ x_{2}^{2}-(4m+1)x_{2}+m^{2} \right ]=25$

Câu 3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=3abc$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{\sqrt{a^{3}+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+a}}\leqslant \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Câu 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp $(O)$. Đường phân giác $\angle BAC$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $\left \{ M \right \}=AB\cap CE$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $AD$ tại $N$ và tiếp tuyến tại $E$ của $(O)$ cắt $CN$ tại $F$
a) Chứng minh tứ giác $MACN$ nội tiếp trong một đường tròn
b) Lấy điểm $K$ trên cạnh $AC$ sao cho $AB=AK$. Chứng minh $AO\perp DK$
c) Chứng minh rằng: $\frac{1}{CF}=\frac{1}{CN}+\frac{1}{CD}$
Câu 5. Trong 100 số tự nhiên từ 1 đến 100 hãy chọn số $n\geqslant 2$ sao cho 2 số phận biệt bất kì được chọn có tổng chia hết cho 6. Hỏi có thể chọn $$n số thoả mãn đề bài với $n$ lớn nhất bằng bao nhiêu?

hình gửi kèm

Đề vòng chung

Cho $x,y,z>0, x+y+z=1$. Chứng minh: $\sum \sqrt{2x^{2}+xy+y^{2}}\geq \sqrt{5}$

Cho hai số dương a,b thỏa mãn điều kiện $ a+b \leq 1 $. Chứng minh rằng: $ a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b} \leq -\frac{9}{4} $

Theo bđt AM-GM, ta có: $2\sqrt{ab}\leq a+b\leq 1=>b\leq \frac{1}{4a}$

Ta có: $a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq a^{2}-\frac{3}{4a}-4a^{2}=-\left ( 3a^{2}+\frac{3}{4a} \right )=-(3a^{2}+\frac{3}{8a}+\frac{3}{8a})\leq -3\sqrt[3]{3a^{2}.\frac{3}{8a}.\frac{3}{8a}}=-\frac{9}{4}$

Dấu ''='' xảy ra <=> $a=b=\frac{1}{2}$

Bài 1:

b) Giải phương trình: $(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^2+27x-14}+11$ (1) 

Đkxđ: $\frac{2}{3}\leq x\leq \frac{7}{3}$

$(1)<=> \left [ 2(3x-2)+1 \right ]\sqrt{7-3x}+\left [ 2(7-3x)+1 \right ]\sqrt{3x-2}=2\sqrt{(3x-2)(7-3x)}+11 <=>2(3x-2)\sqrt{7-3x}+2(7-3x)\sqrt{3x-2}-2\sqrt{(7-3x)(3x-2)}+\sqrt{7-3x}+\sqrt{3x-2}-11=0 <=>2\sqrt{(7-3x)(3x-2)}(\sqrt{3x-2}+\sqrt{7-3x}-1)+\sqrt{7-3x}+\sqrt{3x-2}-11=0$ (2)

Đặt $\sqrt{7-3x}+\sqrt{3x-2}=t(t> 0)=>2\sqrt{(7-3x)(3x-2)}=t^{2}-5$

$(2)<=>(t^{2}-5)(t-1)+t-11=0 <=>t^{3}-t^{2}-4t-6=0 <=>t=3(t>0)$

=>$\sqrt{(7-3x)(3x-2)}=2$

Đến đây chỉ cần bình phương 2 vế rồi giải tiếp 

Câu 2c: $\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^{2}}}\geq \sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)^{2}+6c-c^{2}}}=\sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(3-c)^{2}+6c-c^{2}}}=\sum \frac{a\sqrt{a}}{3}$

Lại có: $a\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 2a, b\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 2b, c\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 2c => \sum \frac{a\sqrt{a}}{3}\geq \frac{2(a+b+c)-\sum \sqrt{a}}{3}\geq 1$ (đpcm)

Câu 1a: Đkxđ: $x\neq 0, x\neq \pm y$

hpt<=> $\left\{\begin{matrix} 4+\frac{4}{(x^{2}-y^{2})^{2}}=\frac{25}{x^{2}}-\frac{8}{x^{2}-y^{2}} & \\ 4+\frac{4}{(x^{2}-y^{2})^{2}}=\frac{17}{x^{2}+y^{2}} & \end{matrix}\right. => \frac{25}{x^{2}}=\frac{17}{x^{2}+y^{2}}+\frac{8}{x^{2}-y^{2}}=\frac{25x^{2}-9y^{2}}{x^{4}-y^{4}}$

Đến đây quy đồng khử mẫu có $\begin{bmatrix} y=0 & & \\ y=\frac{3x}{5} & & \\ y=\frac{-3x}{5} & & \end{bmatrix}$

Thay vào pt1 trong hệ rồi giải

Cho $a,b,c$ >0. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq \frac{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}+\frac{(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

       Đề thi thử chuyên Toán Hà Nội 2015-2016 . Trung tâm bồi dưỡng Ams

Câu I: a, Cho phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số ): $x^{2}-2mx-(m+1)^{3}+(m+2)^{2}=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}+x_{2}\leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{1}x_{2}(3x_{1}+3x_{2}+8)$ khi tham số m thay đổi.

b, Hãy tìm số chính phương nhỏ nhất sao cho bốn chữ số tận cùng về bên phải của nó là 2016

Câu II: a, Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn: $xyz=\sqrt{2}$

Chứng minh rằng: $x^{4}+y^{4}+z^{2}\geq 4$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b, Cho $x,y$ là 2 số hữu tỉ khác 0 và thỏa mãn: $\frac{x^{2017}}{y^{2016}}+\frac{y^{2017}}{x^{2016}}=2$

Chứng minh: $(1-xy)$ là bình phương 1 số hữu tỉ

Câu III: a, Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x^{3}y-xy^{2}+xy-y=1 & \\ x^{4}+y^{2}-xy(2x-1)=1 & \end{matrix}\right.$ ($x,y\epsilon \mathbb{R}$)

b, Giải phương trình: $1+2(3x-2)\sqrt{2x^{2}-4x+1}=2(5x^{2}-6x+1)$

Câu IV: Hình bình hành $ABCD$ có 2 đỉnh $A$ , $C$ cố định, 2 đỉnh $B$ , $D$ thay đổi. Tia phân giác của góc $BAD$ cắt cạnh $BC$ và tia $DC$  lần luiwtj tại $M$ và $N$. Gọi $O$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$

a, Chứng minh $B$, $C$, $D$, $O$ nằm trên 1 đường tròn

b, Gọi $K$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $CBD$ ($K$ khác $C$ ), Tìm tập hợp điểm $K$ khi $B$ và $D$ thay đổi

Câu V: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,n)$ sao cho $x^{n+1}+2^{n+1}+1 \vdots x^{n}+2^{n}+1$ 

Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm A thuộc đường tròn. trên tiếp tuyến kẻ từ A lấy điểm M sao cho $AM=2R$. Từ M kẻ tiếp tuyến còn lại với $(O;R)$ là $MB$ Vẽ đường kính $BD$. Đường vuông góc với BD đi qua A cắt $BD$ tại F. Gọi $E$ là giao của $MD$ và $(O)$. ME cắt $AF$ tại $K$. Chứng Minh $AK=AF$

Hình như c/m AK=KF

Gọi $\left \{ T \right \}=BK\cap MA$ $\left \{ J \right \}=TB\cap (O)$

$=> \widehat{DTB}=$$\frac{1}{2}$ sđ cung $JB$

Mặt khác $\widehat{FKB}=$ $\frac{1}{2}$ sđ cung $JB$

=> $\widehat{DTB}=\widehat{FKB} => DT\parallel KF=> \frac{KF}{DT}=\frac{KB}{TB}$ (1)

$DT\parallel AK=> \frac{AK}{DT}=\frac{KM}{DM}$ (2)

Lại có $DT\parallel AF=> DT\perp DB=> DT\parallel MB=> \frac{KB}{TB}=\frac{KM}{DM}$(3)

Từ (1) (2) (3) => đpcm

Cho (O) đường kính CD, dây AB vuông góc CD tại K (D thuộc cung AB nhỏ), lấy M thuộc cung CBD, DM cắt AB tại E. CM cắt AB tại F. CMR:

$\frac{BE}{BF} = \frac{KE}{KA}$

Xét $\Delta FME$ và $\Delta DKE$ có:

$\widehat{FME}=\widehat{DKE}(=90^{\circ})$

$\widehat{MFE}=\widehat{KDE}$ (=$\frac{1}{2}$ sđ cung $CM$ )

Nên $\Delta FME\sim \Delta DKE$ (gg) => $\frac{KE}{ME}=\frac{ED}{EF}$ (1)

$\Delta MEB \sim AED => \frac{BE}{ME}=\frac{ED}{EA}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{KE}{BE}=\frac{EA}{EF}$

Ta cần chứng minh $\frac{BE}{BF}=\frac{KE}{KA} <=> \frac{KE}{BE}=\frac{KA}{BF}$ 

Do đó, cần chứng minh $\frac{EA}{EF}=\frac{KA}{BF}$

Ta lại có $\Delta MEB\sim \Delta AED=> \frac{EA}{ME}=\frac{AD}{MB} \Delta FME\sim \Delta FKC=> \frac{EF}{ME}=\frac{CF}{CK} => \frac{EA}{EF}=\frac{AD.CK}{MB.CF}=\frac{KA.CA}{MB.CF}$ (3)

$\Delta FMB\sim \Delta FAC (gg)=> BF=\frac{MB.CF}{CA}=> \frac{KA}{BF}=\frac{KA.CA}{CF.MB}$ (4)

Từ (3) và (4) => đpcm

Dài quá 

Tìm p nguyên tố có dạng $p=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a,b,c nguyên dương và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\vdots p$

Hình tự vẽ nha

Theo hệ thứ lượng trong tam giác vuông, ta có:$AB^{2}=AH.AO$

Theo phương tích, ta lại có: $AB^{2}=AD.AE$ => $AH.AO=AD.AE$ => tứ giác $DHOE$ nội tiếp

Theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau => $AO\perp BC$ => $\widehat{DHB}=90^{\circ}-\widehat{DHA}=90^{\circ}-\widehat{DEO}(1)$

$\widehat{DFE}=\frac{1}{2}.\widehat{DOE}=\frac{1}{2}.(180^{\circ}-2.\widehat{DEO})=90^{\circ}-\widehat{DEO}(2)$

Từ (1) và (2) => $\widehat{DHB}=\widehat{DFE}=> BC\parallel EF$