quanganhthanhhoa

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

$\sum \frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} =\sum \frac{a^3}{b^{6} + c^{6} + a^3} \leq \sum \frac{a^{3}}{bc(b^4+c^4)+a^4bc}=\sum \frac{a^{3}}{\frac{b^4+c^4}{a}+a^3}=\sum \frac{a^{4}}{a^4+b^4+c^4}=1$

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài 40: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\sqrt{\frac{2x}{y}}(2xy-1)=2xy+1$.Tìm Min:$2x+\frac{1}{y}$

Bài 41: Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $(a+b)(c+d)\geq 4abcd$.Chứng minh $\frac{1}{ab(c+1)}+\frac{1}{bc(d+1)}+\frac{1}{cd(a+1)}+\frac{1}{ad(b+1)}\geq \frac{32}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

Muốn hỏi mấy bài này

Bài 19: Cho $a,b,c \geq 1$.Tìm Max:$A=a+b+c+ab+bc+ca-3abc$

Bài 20: Cho $a,b,c \geq 1$.Tìm Max $\sum \frac{1}{ab+a+1}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$

Đã có tại đây

Gợi ý:Chứng minh bất đẳng thức sau $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}\geq \frac{3}{3+abc}$

Không cần phức tạp thế đâu bạn tôi ơi 

$\sum \frac{1}{4+a-ab}=\sum \frac{1}{4+a(1-b)}$

Do $(a,b,c)\epsilon [1;2]\Rightarrow \frac{3}{2}\leq \sum \frac{1}{4+a(1-b)}\leq \frac{3}{4}$

Dấu ''='' của Max xảy ra tại $a=b=c=2$

Dấu ''='' của Min là $a=b=c=1$ 

Có bài này cũng hay mà đơn giản nè:

Bài 14:Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.Chứng  minh rằng $a^3+b^3+c^3+6abc \geq 9$

P/s:Góp ý chút,bài nào giải rồi nên tô đỏ để mọi người biết là đã được giải

Ta có: 

$P=x(1-x^{2})\Rightarrow P^{2}=x^{2}(1-x^{2})^{2}$

$P^{2}=\frac{1}{2}2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq \frac{1}{2}\frac{(2)^{3}}{27}=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow P\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}; y=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Vậy P_max=$\frac{2}{3\sqrt{3}}$

Mình bổ sung thêm bài toán mới

Bài 10:Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\geq \frac{1}{3}$

Bài 1:Biến đổi tương đương ta có $\frac{1}{2}(x-y)(x-z)(y-z)[(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}]\geq 0$(luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$

Xin đề xuất bài toán tiếp theo:

Bài 3:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq a+b+c$

Nhân tiện cho chúc mừng sinh nhật VMF ké nhé 

Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$ 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$3(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})\geq3(a+b+c)^2\geq9(ab+bc+ac)$

Ta cần cm: $(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(1+\frac{(b+c)^2}{2})$

$\Leftrightarrow b^2c^2+1+\frac{b^2+c^2}{2}\geq 3bc$ ($AM-GM$)

Ta có đpcm

Bài 68:Cho đường tròn (O,R) và dây $AB$ cố định ($AB$ không là đường kính).Từ điểm P di động trên tia đối của tia AB vẽ 2 tiếp tuyến $PN,PQ$.Gọi $K$ là giao của $OP$ và $NQ$.Chứng minh $K$ luôn nằm trên 1 đường tròn cố định

Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn:

(x² -3) chia hết cho (xy+3)

$x^{2}-3\vdots xy+3\Rightarrow y(x^2-3)\vdots xy+3\Rightarrow x(xy+3)-3(x+y)\vdots xy+3\Leftrightarrow 3(x+y)\vdots xy+3\Leftrightarrow 3(x+y)\geq xy+3\Leftrightarrow (3-x)y\geq 3-3x$

Xét $x=1,2$ rồi tìm y

Xét $x \geq 3$ ta có $y\leq \frac{3x-3}{x-3}=3+\frac{6}{x-3}\leq 9\Rightarrow 1\leq y\leq 9$

Xét các trường hợp của $y$ để tìm $x$

Hơi nhiều trường hợp nhỉ =))

Giải hệ phương trình

 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ x+y-xy = 9 \end{matrix}\right.$

ĐK:$x>0;x>-y$

Đặt $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} =a\Rightarrow  \sqrt{\frac{x+y}{6x}} =\frac{1}{a}\Rightarrow a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2(a^{2}+1)=5a\Leftrightarrow (2a-1)(a-2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{6x}{x+y}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 23x=y & \\ a=2\Leftrightarrow\frac{6x}{x+y}=4\Leftrightarrow x=2y   & \end{bmatrix}$

Cho các số thực dương a,b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức : \[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^{3}}\]  

Biến đổi BĐT đã cho thành
$ ( \frac{k}{a^{3}+b^{3}}-\frac{4k}{(a+b)^{3}}  )+ ( \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}-\frac{16}{(a+b)^{3}})\geq 0$
$\Leftrightarrow ( \frac{a-b}{a+b})^{2}[ \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)}-\frac{3k}{a^{3}+b^{3}} ]\geq 0$
Nên BĐT sau phải đúng:
$ [ (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2} ](a^{3}+b^{3})\geq 3ka^{3}b^{3}(a+b)$
Cho $a=b$ suy ra $k\leq 8$. Mặt khác, khi k=8 thì theo AM-GM:
$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}\geq 24a^{2}b^{2}$
$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ (đpcm)
Hằng số $k$ tốt nhất là $k=8$

Chứng minh rằng: $\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq \left ( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x} \right )^{2}\geq 6\sqrt{3}$

với  $\forall x,y,z>0;xy+yz+zx=1$

Áp dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz và Minkopxki ta có:

$( \sqrt{x+y} +\sqrt{y+z} +\sqrt{z+x})^{2}=2(x+y+z+\sum \sqrt{(x+y)(y+z)})\geq 2(\sqrt{3(xy+yz+zx)}+\sum \sqrt{x^{2}+1})=2(\sqrt{3}+\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}})\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{(x+y+z)^{2}+3(\sqrt{3})^{2}}\geq 2\sqrt{3}+2\sqrt{3(xy+yz+zx)+9}=2\sqrt{3}+2\sqrt{12}=6\sqrt{3}\rightarrow \square $

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Nhận xét về cấu trúc ra đề:

Phần đại số chiếm quá nhiều trong khi phần hình lại quá ít,và bài hình duy nhất ấy quá dễ,học sinh đại trà lớp 7 cũng làm được.

Bài bất đẳng thức không phù hợp với THCS khi lời giải phải dùng đến bất đẳng thức Schur.

Bài hệ khá ổn,bài phương trình vô tỉ nghiệm xảy ra THCS chưa giải được.

Tóm lại đề còn có nhiều sai sót và cần chỉnh sửa nhiều hơn nữa

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,xyz\leq 0$

 

CMR: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$ 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

$\left [2(x+y)+z(2-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ](4+(2-xy)^2)$

$=(9+2xy)(8+x^2y^2-4xy)$

Ta sẽ đi cm $(9+2t)(8+t^2-4t)\leqslant 100$

$(t+2)^2(2t-7)\leqslant 0$ (với $t=xy$) $(*)$

Đến đây giả sử $|x|\leqslant |y|\leqslant |z|\Rightarrow x^2\leqslant y^2\leqslant z^2\Rightarrow x^2+y^2\leqslant 6$

Mà $xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant 3$ suy ra đpcm