haycuoi

Chứng minh $\tan x + \sin x \ge \frac{9}{2}x + \frac{3}{2}(\sqrt 3  - \pi ),\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ .Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có $\tan A + \tan B + \tan C + \sin A + \sin B + \sin C \ge \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$

Xin lỗi mọi người nhưng cách giải của mình khá dở.

Đặt $f(x)=\tan x + \sin x - \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}(\sqrt 3  - \pi ),\forall x\in\left(0,\frac\pi2\right)$

Ta tính đạo hàm: $\implies f'(x)=\frac1{\cos^2x}+\cos x-\frac92=\frac{\cos^3x-\frac92\cos^2 x+1}{\cos^2}=\frac{(\cos x-\frac12)(\cos^2x-4\cos x-2)}{\cos^2x}$

Từ đó: $f'(x)=0\iff \cos x=\frac12$

$\implies f'(x)<0 \text{ khi }\cos x>\frac12 \text{ hay }x<\frac\pi3, f'(x)>0\text{ khi }\cos x<\frac12\text{ hay }x>\frac\pi3$

$\implies$ tại $x=\frac\pi3$ hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu trên $\left(0,\frac\pi2\right)$. Từ đó ta có đpcm

Từ ý trên, ta có: 

$\sum_{cyc}(\tan A+\sin A)\ge \frac92(A+B+C)+3\cdot \frac32(\sqrt3-\pi)=\frac{9\sqrt3}{2}$

Em xin gõ lại cho dễ nhìn với lại em cũng chưa hiểu khúc cuối lắm:

$P\le \frac{2+t}{1+t}\le 1+\frac1{1+t}$ ??? Đến đây rồi sao nữa ạ !