hieu31320001

$(x+2)(\sqrt{x+1}+6)+11\leq (4x+5)\sqrt{2x+3}$

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. TÌm $MIN P= \sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}$

http://toan.hoctainh...o-mot-ban-o-vmf

Cho các số thực a,b,c thoả mãn $a,b,c\geq 1$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=6ab+2(a+b+c)$. Tìm Min $P=\frac{a+1}{b+c-1}+\frac{b+1}{c+a-1}+(\frac{a+b}{c})^{2}$

Cho a,b,c là các số thực. CM:

$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}\geq (1+a) (1+b) (1+c)$

Tìm bộ các số nguyên dương m và n thỏa mãn p=$m^{2}+n^{2}$ là số nguyên tố và $m^{3}+n^{3}-4\vdots p$

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=3/2. Tìm min của biểu thức

D=$\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{4yz+1}$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^{2}-y}+\frac{5y}{x+y^{2}}=4 & \\ 5x+y+\frac{x^{2}-5y^{2}}{xy}=5& \end{matrix}\right.$

$\frac{a}{b}< 1\Rightarrow \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}$

Áp dụng tính chất trên ta có

$1=\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+b}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}=2$

Giải phương trình:

 

2,$\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

ĐKXĐ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ do đó x dương

nên áp dụng bđt bunhiacopxki , ta có

VT$\leq \sqrt{(1+1)(x^{2}+x-1-x^{2}+x+1)}=2\sqrt{x}$

VP$=(x-1)^{2}+x+1\geq x+1\geq 2\sqrt{x}$$=(x-1)^{2}+x+1\geq x+1\geq 2\sqrt{x}$

do đó xảy ra pt khi VT=VP=2$\sqrt{x}$ khi và chỉ khi x=1

Giải phương trình:

1,(x-3)(x+1)+4(x-3)$\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$=3

2,$\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

câu một 

$(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=\sqrt{(x-3)(x+1)}$

khi đó pt trở thành pt bậc 2 với ẩn là$ \sqrt{(x-3)(x+1)}$, đến đây thì dễ rồi

Câu 2: Với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}< 1$

$\frac{1}{\sqrt{n^{2}+m}}< \frac{1}{\sqrt{n^{2}}}=\frac{1}{n} \forall m> 0$

thay m lần lượt bằng 1,2,3,...,,n rồi cộng vế theo vế ta có đpcm

A=$\frac{\sqrt{2015(x-2013)}}{\sqrt{2015}(x+2)}+\frac{\sqrt{2015(x-2014)}}{\sqrt{2015}x}\leq \frac{x+2}{2\sqrt{2015}(x+2)}+\frac{x}{2\sqrt{2015}x}=\frac{\sqrt{2015}}{2015}$

Đẳng thức xảy ra khi x=4018

pt $\Leftrightarrow \sqrt{3x^{2}-3x-3}-\sqrt{3x^{2}-5x+1}=\sqrt{x^{2}-3x+4}-\sqrt{x^{2}-2}\Leftrightarrow \frac{2x-4}{\sqrt{3x^{2}-3x-3}+\sqrt{3x^{2}-5x+1}}+\frac{3x-6}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}=0$

đến đây ta được pt tích và pt có một nghiệm là x=2 còn tích còn lại luôn dương

vì vai trò của x,y,z là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta giả sử $x\leq y\leq z$

pt 1 $\Rightarrow 2003=\frac{20y}{x^{2}}+11y\geq \frac{20}{y}+11y$

pt 3$\Rightarrow 2003=\frac{20x}{z^{2}}+11x\leq \frac{20}{y}+11y$

do đó x=y=z và 2003=$\frac{20}{y}+11y$