nguyenduylong2001

Ta chứng minh bổ đề, Nếu $p,q$ là số nguyên tố và $q^{2}|2^{p-1}-1$ thì $q=3$.

Thật vậy, giả sử tồn tại $q>3$ thỏa mãn, ta thấy $p>3$. Suy ra $2^{p-1}-1\equiv -1$ (mod 8) nhưng $q^{2}\equiv 0,1,4$ (mod 8) suy ra vô lý, 

Vậy bổ đề đc c/m.

Ta trở lại với bài toán:

Xét p=2 ko thỏa mãn, p=3 : thỏa mãn.

Xét p>3:dựa vào bổ đề, và định lý fecma nhỏ thì $2^{p-1}-1$=$p.m$, m>2 không chia hết cho p, do đó $p(2^{p-1}-1)$ =$p^{2}.m$,, vậy nếu $p(2^{p-1}-1)$ là lũy thừa của một số nguyên nào đó, thì nó là lũy thừa bâc 2 của 1 số nguyên, suy ra m là lũy thừa bậc 2 của 1 số nguyên. mặt khác theo bổ đề, nếu m có ước nguyên tố q khác 3 thì  $q^{2}|2^{p-1}-1$ vô lý, vậy $m=3^{2h}$, h>0. $2^{p-1}-1$=$p.9^{h}$

Xét p=5 loại, p=7 thỏa mãn. 

Ta chứng minh với $p>7$ thì $2^{p-1}-1$ luôn có ước nguyên tố khác 3,p, từ đó ko thể viết $2^{p-1}-1$ dưới dạng $p.9^{h}$

thật vậy, viết $p=2^{i}.3^{j}.r+1$ r>0 không chia hết cho 2,3, $i,j\geq 0$. 

Nếu $j\neq 0$ thì $7|2^{3}-1|2^{p}-1$ mâu thuẫn

Vậy j=0, nếu i>1 thì $5|2^{p}-1$ cũng mâu thuẫn

Vậy j=0, i<2, vì p>7 nên $r\geq 5$. như vậy r luôn có ước nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5. Gọi ước này là a. ta có $2^{a}-1|2^{p}-1$, Giải phương trình $2^{a}-1=3^{b}$ ta được a=2, b=1, ko thể xảy ra do a>2, vậy $2^{a}-1$ luôn có 1 ước nguyên tố khác 3 vậy là đã xong rồi, 4 tiếng cuộc đời

cảm ơn bạn