Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Namvip

Đăng ký: 13-09-2015
Offline Đăng nhập: 21-04-2020 - 13:41
-----

#656589 Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

Gửi bởi Namvip trong 03-10-2016 - 19:31

Bài 73 : Lời giải khác 

Ta có 

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}$

Lại có 

$(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2\sum (a^{2}+bc)=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}$

mà 

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}\geq 2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

=>$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2(a+b+c)}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$




#656502 $11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqr...

Gửi bởi Namvip trong 02-10-2016 - 21:51

ĐK: $-1 \leq x \leq 4$

 

Đặt $\sqrt{4-x}=a; \ \sqrt{x+1}=b$

 

Thay vào ta có:

 

$\dfrac{33}{5}a^2-\dfrac{2}{5}b^2+ab-11a+2b=0$

 

$\iff (11a-2b)(3a+b-5)=0$

 

Đến đây thay $a,b$ và thực hiện bình phương 2 lần

Bài này biết hướng làm rùi chỉ khó đoạn tách 

Có cách nào để tìm ra nhân tử mà ko cần dùng CASIO ko hả cậu hay là tự phải mò nhỉ 




#656456 Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

Gửi bởi Namvip trong 02-10-2016 - 20:03

Bài 71 :

Ta có 

$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}.1.1}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{9}+\frac{2}{3}$

$8\sqrt[3]{abc.1.1}\leq 8(\frac{abc+2}{3})=\frac{8abc}{3}+\frac{16}{3}$

Lại có 

BĐT Phụ sau $a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\leq (a+b+c)^{3}$

=>$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}{9}\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}=3$

=>$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\leq 9$




#656403 Tìm min $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac...

Gửi bởi Namvip trong 02-10-2016 - 15:53

Ta có 

Giả sử $a\geq b\geq c$

=>$\left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} \\ \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có 

$P=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}.3.\frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}$

Lại có 

$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9 =>a+b+c\leq 3$

$=>P\geq \frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}$




#656399 Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

Gửi bởi Namvip trong 02-10-2016 - 15:37

Bài 70  Bài giải :

$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}=>ab+bc+ca=1$

BĐT <=> $(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}$

$(1-a^{2})(1-b^{2})\leq (1-ab)^{2}<=>(a-b)^{2}\geq 0$

CMTT 

=>$\prod (1-a^{2})\leq \prod (1-ab)$

$\prod (1-ab)=\prod (bc+ca)=abc\prod(a+b)$

Lại có 

$\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}=\sqrt{\prod (a+b)(a+c)}=\prod (a+b)$

$=>(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}$

$=>(x^{2}-1)(y^{2}-1)(z^{2}-1)\leq \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)(z^{2}+1)}$

Vậy bđt đã cho được chứng minh 




#656098 $\sum\limits_{cyc}{a\sqrt{b^3+1}...

Gửi bởi Namvip trong 30-09-2016 - 15:42

Ta có 

$\sum a\sqrt{b^{3}+1}=\sum a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}\leq \sum a(\frac{b^{2}+2}{2})$

$=>P\leq \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c$

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau 

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc$

Giả sử $c \leq b \leq a$ 

$a(b-a)(b-c)\leq 0=> ab^{2} + ca^{2}  \leq abc + ba^{2}$

$=>ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc \leq ba^{2} + 2abc + bc^{2} =b(c+a)^{2} $

$b(c+a)^{2}=4b.\frac{c+a}{2}.\frac{c+a}{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$=>ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$=>P\leq \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c=\frac{4}{54}(a+b+c)^{3}+a+b+c=5$




#656037 $M=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{...

Gửi bởi Namvip trong 29-09-2016 - 21:15

1)Ta có 

$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2})}{(a+b+c)^{2}}=1$




#656001 $x^{2}-y^{2}+2\sqrt[3]{x^{4}...

Gửi bởi Namvip trong 29-09-2016 - 19:11

Ta có 

$(1)<=>(y\sqrt{y-1}-(x+\sqrt[3]{x}))^{2}<=>y\sqrt{y-1}=x+\sqrt[3]{x}<=>\sqrt{y-1}=\sqrt[3]{x}=>(y-1)^{3}=x^{2}$

Thay vào ta có 

$x^{4}+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=x^{3}+1$

$<=>x^{4}-x^{2}=x^{3}-x^{2}+1-\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}$

Đặt $\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=b;x^{2}=a$

$a^{2}-a=b^{2}-b <=>\left\{\begin{matrix} a=b \\ a+b=1 \end{matrix}\right.$




#655846 $\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2...

Gửi bởi Namvip trong 28-09-2016 - 16:21

Ta có 

$\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}-a}-a\sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{(a^{2}+2)(5a^{2}-a)}$

mà lại có 

$\sqrt{(2a^{2}+4)(5a^{2}-a)}\leq \frac{2a^{2}+4+5a^{2}-a}{2}=\frac{7a^{2}-a+4}{2}$

=>$\sqrt{(a^{2}+2)(5a^{2}-a)}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(7a^{2}-a+4)$

=>$\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}-a}-a\sqrt{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(7a^{2}-a+4)$




#655558 Cho x,y,z là các số nguyên .Chứng minh P chia hết 30 khi và chỉ khi S chia hế...

Gửi bởi Namvip trong 25-09-2016 - 21:53

CM $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5 ta có thể dùng cách sau 

Theo định lý Ferma ta có 

$a^{5}\equiv a$(mod 5)

$b^{5}\equiv b$(mod 5)

$c^{5}\equiv c$(mod 5)

mà a + b + c chia hết cho 5 => $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5 




#655529 Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

Gửi bởi Namvip trong 25-09-2016 - 19:06

Bài 58 

Ta có 

$\sqrt{(4^{2}+1^{2})(a^{2}+\frac{1}{a+b})}\geq 4a+\frac{1}{\sqrt{a+b}}$

=>$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(4a+\frac{1}{\sqrt{a+b}})$

CMTT 

=>$P\geq \frac{1}{\sqrt{17}} \left ( 4\sum a+\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}} \right )\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(24+\frac{9}{\sum \sqrt{a+b}})\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( 24+\frac{9}{\sqrt{3(a+b+b+c+c+a)}} \right )=\frac{3\sqrt{17}}{2}$




#655490 $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq...

Gửi bởi Namvip trong 25-09-2016 - 15:11

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z=>x+y+z=2$

$P=(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Ta có 

Theo bđt Holder $(x^{4}+y^{4}+z^{4})(1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)\geq (x+y+z)^{4}=16$

$=>x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{16}{27}$




#655244 $\frac{3\sqrt{3}}{4} \leq \sum \frac{bc}{a(1+bc...

Gửi bởi Namvip trong 23-09-2016 - 18:58

Ta có 

$\sum \frac{bc}{a(1+bc)}=\sum \frac{bc}{2a+b+c}$

$\frac{bc}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c} \right )$

CMTT 

=> $\sum \frac{bc}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}\sum \left ( \frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b} \right )=\frac{1}{4}\sum c=\frac{a+b+c}{4}=\frac{abc}{4}$




#655237 CMR: $\sum \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2}{\prod (1+a)}...

Gửi bởi Namvip trong 23-09-2016 - 17:31

Đặt $a=\frac{yz}{x^{2}};b=\frac{xz}{y^{2}};c=\frac{xy}{z^{2}}$

BĐT $<=>\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq 1$

Ta có 

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})\geq (x^{2}+yz)^{2}$

CMTT 

$=>\prod (x^{2}+y^{2})\geq \prod (x^{2}+yz)$

=>$\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq \frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+y^{2})}$

Lại có 

$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}\geq \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}=1-\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+y^{2})}$

=>$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq 1$




#655147 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.

Gửi bởi Namvip trong 22-09-2016 - 19:58

Theo cân bằng hệ số ta dự đoán đc $a = c = \frac{24}{17} ; b = \frac{3}{17}$

Theo bđt Holder ta có 

$\left ( a^{3} +64b^{3} + c^{3}\right )(8+1+8)(8+1+8)\geq (4a+4b+4c)^{3}=1728$

$=>a^{3}+64b^{3}+c^{3}\geq \frac{1728}{17^{2}}=\frac{1728}{289}$