quochung262

$P(0,y) \Rightarrow (y+1)f(0)+f(f(y))=y. \qquad (2)$ 
Từ đây ta suy ra $f$ song ánh. Do đó tồn tại $k$ thoả mãn $f(k)=0$.
Chổ này nếu f(0)=1 thì song áng kiểu gì?

Đề này cho ko điểm hết rồi 

câu 1, 2 cùng ý tưởng đưa về hàm số f(t) đơn điệu trên txđ từ đó tìm mối quan hệ giữ x,y (câu 1 y là ẩn phụ) 

Câu 3a. c lẻ thì thỏa r, c chẵn xét đồng dư 4 

Câu 5 dùng cosi một lần duy nhất rồi đánh giá c>=b, a>=1, d<=90 

mới nhìn vào đề thì ra đc tới đó 

Câu 6a:

Xét các tổng có m số hạng khác nhau được lập từ các số a_i (i=1,11) với $1\leq m\leq 11$

Với mỗi số m chạy từ 1 đến 11 thì số các tổng là $C_{11}^{m}$

=> tổng số các tổng như vậy là $\sum_{m=1}^{11}C_{11}^{m}=C_{11}^{1}+C_{11}^{2}+...+C_{11}^{11}=2^{11}=2048$

Suy ra trong 2048 tổng trên tồn tại ít nhất 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 2047. Gọi hai tổng đó lần lượt là S₁ và S₂

TH1: Trong 2 tổng trên không có số hạng nào trùng nhau

Trong tổng $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$

Đặt x_i=1 với các số hạng của S₁

Đặt x_j=-1 với các số hạng của S₂

Đặt x_l=0 với các số hạng còn lại

TH2: Trong 2 tổng trên tồn tại các số hạng a_r trùng nhau

Trong tổng $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$

Đặt x_i=1 với các số hạng của S₁ khác các số a_r

Đặt x_j=-1 với các số hạng của S₂ khác các số a_r

Đặt x_l=0 với các số a_r và các số hạng còn lại

Từ đó ta luôn có $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho 2047

=> đpcm

Câu hàm:

Thay n=k=0 vào pt, được f(0)=0

Thay n=1 vào pt ban đầu thu được: $2f(k+1)-2f(k-1)=3f(k)\Leftrightarrow 2f(k+1)-3f(k)-2f(k-1)=0$

Do hàm số xđ trên N. Đặt $f(k)=u_k$$,\forall k\in \mathbb{N}$

Ta có: $2u_{k+1}-3u_k-2u_{k-1}=0$

Phương trình đặt trưng: $2\lambda ^{2}-2\lambda -3=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1+\sqrt{7}}{2}\vee \lambda =\frac{1-\sqrt{7}}{2}$

Do đó $u_n=c_1(\frac{1+\sqrt{7}}{2})^{n}+c_2(\frac{1-\sqrt{7}}{2})^{n}$

Tới đây có u0, u1 rồi chịu khó thay vào, lười quá  

Bài 2: Dễ thấy u_n>0 với mọi số nguyên dương n

TBằng quy nạp ta chứng minh được u_n>3 với mọi $n\geq 2$

Từ đó suy ra u_n tăng. Giả sử u_n bị chặn trên, suy ra u_n có ghhh. Đặt limun=L

Chuyển qua gh, được L=1 hoặc L=2 (vô lý)

Do đó $limu_n=+\infty$

Dễ dàng c/m được $\frac{u_{i}-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_{i}-2}-\frac{1}{u_{i+1}-2})$ (chổ này biến đổi tương đương thôi)

Do đó: $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_1-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2})=2015-\frac{2015}{u_{n+2}-2}$

Suy ra limvn=2015

Câu hàm:

Thay y=0 vào pt đầu, ta đc: $f(f(x))=f(x)-f(0)+f(x)f(0)$ (1)

Đặt $x_{n}=f((...((x))...))$ (2n dấu ngoặc)

Thay x bởi x_n vào (1), ta đc: $x_{n+1}=(a+1)x_{n}-a$ (với a=f(0))

$\Leftrightarrow x_{n+1}-1=(a+1)(x_{n}-1)=...=(a+1)^{n}(x_{1}-1)$

$\Rightarrow x_{n}=(a+1)^{n-1}(x_{1}-1)+1$$\Rightarrow x_{0}=(a+1)^{-1}(x_{1}-1)+1\Leftrightarrow \Leftrightarrow x=(a+1)^{-1}(f(x)-1)+1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x+m-1}{m}$ (với $m=\frac{1}{a-1}$)

Thay vào (1), đồng nhất đc m=1

Vậy f(x)=x (thử lại thấy thỏa)

Câu 5

Cách khác $\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\Rightarrow BĐT \Leftrightarrow \frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}\leq \frac{3}{2} $

Lại có $\frac{ab}{1-ab}\leq \frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{2ab}{2c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}.\frac{(a+b)^2}{(c^2+a^2)+(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a^2}{a^2+c^2} +\frac{b^2}{b^2+c^2}\right ) $ (do $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ )

Thiếp lập các BĐT tương tự cộng lại có đpcm

Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c= \frac{1}{\sqrt{3}}$

.

.

.

P/S Còn bài hình ai đó làm nốt đi 

Dòng màu đỏ, bất đẳng thức đầu tiên sử dụng a,b,c có dương đâu bạn