ageofgultron

Dùng định lý Carnot cho tam giác ABC và công thức trung tuyến là được thôi, hơi dài dòng một tí.

4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M thuộc cung BC không chứa A. I,K là tâm nội tiếp ABM và ACM. CM (MIK) đi qua điểm cố định.

Em thấy bài này chỉ cần 2 đường đẳng giác là được, không cần điểm (bỏ P, D cố định)

Cách này không hay lắm nhưng tạm nhé (sorry vì latex máy em không đánh đc)

Gọi S thuộc AC mà SA=SD, ta cm T,Q,S thẳng hàng (T =R) bằng:    TH/TC . SC/SA . QA/QH = 1 (1)

Đặt DAC=SDA=TDH =x, ADQ=TDC=y; SDQ=HDC=z

Ta có TH/TC= sinx/siny . DH/DC ; QA/QH= siny/sinz . DA/DH 

=> (1) <=> sin DAC/ sinSDC = DC/DA . SA/SC (đúng)

Chắc chắn có cách khác hay hơn, nhờ mọi người chỉ giáo

Bài toán cũng đúng với (O1),(O2)  tx trong (O) nên mình sẽ cm tx trong nhé (hình dễ nhìn hơn).

Ta có: FS,ER,O1O2  đồng quy tại K. Gọi A,B là tiếp điểm  (O1),(O2) với FS; C,D tiếp điểm (O2),(O1) với ER

PQ là trục đẳng phương <=>  PQ là đường trung bình của hthang ACBD.

Gọi J=AD giao RQ, I=BC giao SQ 

Theo bổ đề Sawayana thì I, J là tâm nội tiếp SEF,REF.

Ta có QI=QJ(=QE=QF) QP phân giác IQJ => PQ trung trực IJ.

Cần cm: IJ //O1O2 nữa là xong.

Ta có KO1,KO2 phân giác RKF,EKS=> O1,O2 vuoog góc pg trong EKF.

Lại có EKF/2 = 1/2 sđ EQ + RP => pg trong // PQ => IJ//O1O2 => ỊJ vuông AD  => đpcm.

Bạn tự vẽ hình rồi nhìn nhé, nhác quá . Nếu tx ngoài thì I,J là tâm bàng tiếp. Tương tự thôi

I(AS,TD)=-1 = I(AH,TD) => I,H,S thẳng hàng