cyndaquil

E đang học về phần nguyên hàm nhưng có một số rắc rối sau:

1) Mặc dù  $\Delta x=\mathrm dx$ nhưng vì sao trong biểu thức nguyên hàm người ta không dùng $\Delta x$, vả lại nhắc tới vi phân người ta thường viết $\mathrm df(x)=f'(x) \mathrm dx$ thay vì định nghĩa của nó là $\mathrm df(x)=f'(x).\Delta x$. Vậy thì $\mathrm dx$ ở đây có ý nghĩa ntn?

2) Vi phân của một hàm số cho ta biết những gì, bắt nguồn từ đâu? Thực sự thì e không hình dung được nó là gì thông qua định nghĩa.

 

Có anh chị/ bạn nào hiểu biết xin giúp đỡ ạ. Mấy vấn đề này trong sgk rất ít đề cập.

 

 

 

Mình nghĩ như thế này, liệu có ổn không?

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a};  \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

Vì c>b>a>0 qui đồng mỗi vế ta được

$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}=\frac{b^{2}c+ac^{2}+a^{2}b}{abc}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}= \frac{a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}}{abc}$

Vì c>b>a>0 nên ta cũng suy ra $a^{2}c\leq ac^{2};a^{2}b\leq ab^{2};b^{2}c\leq bc^{2}$

=> đccm

Cách của bạn ko đúng vì cộng cả 3 vế theo vế ko suy ra được dpcm 

 

Nhân 2 vế cho $abc$, bdt đã cho tương đương

$a^2c+b^2a+c^2b \ge b^2c+c^2a+a^2b$

$\Leftrightarrow (c-b)(b-a)(c-a) \ge 0$ (luôn đúng),suy ra dpcm

Sử dụng liên tiếp đẳng thức $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

Ta có $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$

$=\left[(1-ab)^2+(a+b)^2\right](c^2+1)(d^2+1)$

$=\left[(a+b+c-abc)^2+(ab+bc+ca-1)^2\right](d^2+1)$

$=(abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d)^2+(abcd-ab-bc-ca-da-db-dc+1)^2$

$=2012+(abcd-ab-bc-ca-da-db-dc+1)^2 \ge 2012$

Ta có bdt $a^4+b^4+c^4+d^4 \ge \frac{(a+b+c+d)^4}{64}$

Áp dụng: $VT=2.\sqrt[4]{\frac{x^4}{9}+\frac{x^4}{9}+\frac{x^4}{9}+4} \ge 2.\sqrt[4]{\frac{\left(\dfrac{\left|x\right|}{\sqrt[4]9}+\dfrac{\left|x\right|}{\sqrt[4]9}+\dfrac{\left|x\right|}{\sqrt[4]9}+\sqrt 2 \right)^4}{64}}=2.\frac{\sqrt 3\left|x\right|+\sqrt 2}{\sqrt 8}=\sqrt{\frac 32}\left|x\right|+1$

Suy ra $\left|y\right| \ge \left|x\right|$

Tương tự suy ra $\left|x\right| \ge \left|y\right|$ suy ra $\left|x\right|=\left|y\right|$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left|x\right|=\left|y\right|=\sqrt 6$

Vậy hpt có 4 nghiệm

Mình có thể làm theo cách khác không bạn?

Thực ra còn cách này đơn giản hơn

$\mathrm P=\frac{a^2+b^2+4c^2}{(a+b+c)^2} \le \frac{4(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \le \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=4$

Khi cho $\mathrm{a=b=c=1}$ thì $\mathrm{VT=12 < VP}$?

Tiếp theo: 

Bài 11: Chứng minh rằng với các số dương $a,b,c$ và $abc=8$ ta có bất đẳng thức sau:

$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\ge \frac{4}{3}$.

Bài 12: Cho $x,y,z\in [-1;1]$ và $x+y+z=0$. Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+x^2}\ge 3$

Bổ sung điều kiện ( vì nhiều lúc chúng ta không để ý) :
Giả sử $c=max\{a,b,c\}$. Suy ra $c\in [1;4]$

a,b,c ko có vai trò như nhau nên mình nghĩ ko giả sử đc c= \max \{a,b,c\}

CHo a, b, c là các số thực không âm đôi một khác nhau
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left [ (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2} \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}} \right ]$

KMTTQ giả sử $a > b > c \ge 0$
Khi đó $P= \Big[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \Big].\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}\right]$
$\ge \left[ (a+b)^2 +a^2+b^2\right] .\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right]$
$=2\left[(a+b)^2-ab \right].\left[ \frac{1}{(a+b)^2-4ab}+\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}-\frac{2}{ab}\right]$
BDT đã cho có dạng thuần nhất nên chuẩn hóa $a+b=1,$ đặt $ab=x,0< x \le \frac 14$
Khi đó $\frac F2 \ge(1-x)\left( \frac{1}{1-4x}+\frac{1}{x^2}-\frac 2x\right)$
$=3+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+\frac{3x}{1-4x}$
Khảo sát hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}+\frac{3x}{1-4x}$ trên $\left[0;\frac 14 \right)$
Ta thu đc $\min f(x)=\frac{35+11\sqrt{33}}{8}$
Từ đó suy ra $F \ge \frac{59+11\sqrt{33}}{4}$
$\min F=\frac{59+11\sqrt{33}}{4}$ đạt đc chẳng hạn khi $a,b$ là 2 nghiệm của pt $x^2-x+\frac{13-\sqrt{33}}{34},c=0$
em chưa học đạo hàm nên chỗ xét hàm ko giải chi tiết dc

2) Áp dụng bdt minkovski 

 

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+\color{red}{\sqrt{2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)}}$

 

 

 

có nhầm lẫn xíu