anhxtanh1879

Cho $x, y, z> 0$ thoả mãn $xyz=1$. CMR:

$\sqrt{9+16x^2}+\sqrt{9+16y^2}+\sqrt{9+16z^2}\geq 3+4(x+y+z)$

CHỨNG MINH $\sqrt{\frac{2y}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{z+y}}+\sqrt{\frac{2x}{x+z}} \leq 3$

Đã có tại đây

http://diendanthpt.f....com/t144-topic

Cho $a, b, c > 0$. CMR:

$\frac{8(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{3}}\geq 16$

Với $xy\leq 1$ thì
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$   (*)
mọi người dùng biến đổi tương đương thì càng tốt

$(*)\Leftrightarrow \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} + \frac{2}{\sqrt{(1 + x^{2})(1 + y^{2})}} \leq \frac{4}{1 + xy}$

Mà ta có bđt: $\sqrt{(1 + x^{2})(1 + y^{2})} \geq 1 + xy$

$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{(1 + x^{2})(1 + y^{2})}} \leq \frac{2}{1 + xy}$

Như vậy ta chỉ cần cm: $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} \leq \frac{2}{1 + xy}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1 + xy} - \frac{1}{1 + x^{2}} \geq \frac{1}{1 + y^{2}} - \frac{1}{1 + xy}$

$\Leftrightarrow \frac{(x - y)^{2}(1 - xy)}{(1 + xy)(1 + x^{2})(1 + y^{2})} \geq 0$ (luôn đúng vì $xy \leq 1$)

Xét các số $x, y, z$ thoả mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2015$. Tìm GTNN của biểu thức:

$M = 2xy - yz - zx$

2,Cho x,y,z là các số thực dương.

Chứng mình $\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-x^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y} \geq 0$

Gs $x \geq y; x \geq z$

TH1: $x \geq y \geq z$

$\Rightarrow x + y \geq x + z \geq y + z \Rightarrow y^{2} - x^{2} \leq 0; z^{2} - y^{2} \leq 0$

$\Rightarrow \frac{x^{2} - z^{2}}{y + z} = \frac{x^{2} - z^{2}}{y + z}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x + z} \geq \frac{y^{2} - x^{2}}{y + z}$

$\frac{z^{2} - y^{2}}{x + y} \geq \frac{z^{2} - y^{2}}{y + z}$

Cộng các bđt trên ta dc đpcm

TH2: $x \geq z \geq y \Rightarrow x + z \geq x + y \geq y + z \Rightarrow x^{2} - z^{2} \geq 0; z^{2} - y^{2} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{x^{2} - z^{2}}{y + z} \geq \frac{x^{2} - z^{2}}{x + z}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{z + x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{z + x}$

$\frac{z^{2} - y^{2}}{x + y} \geq \frac{z^{2} - y^{2}}{x + z}$

Cộng lại ta dc đpcm

2,Cho x,y,z là các số thực dương.

Chứng mình $\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}-z^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x+y} \geq 0$

chỗ màu đỏ phải là x² chứ nhỉ??

Bài 7 có rất nhiều cách, tham khảo ở đây nhé

http://diendantoanho...b4c4geq-a3b3c3/

Bài 4: Cho 3 số thực x,y,z thỏa xyz=1. Chứng minh rằng:

Nếu $x+y+z>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ thì trong ba số x,y,z có duy nhất 1 số lớn hơn 1.

4. Ta có: $x + y + z > \frac{xyz}{x} + \frac{xyz}{y} + \frac{xyz}{z}$

$\Leftrightarrow x + y + z > xy + yz + zx$

$\Leftrightarrow x + y + z - xy - yz - zx + xyz - 1 > 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(y - 1)(z - 1) > 0$

+) Cả 3 số đều dương $\Rightarrow x, y, z > 1 \Rightarrow xyz > 1$(loại)

+) Có 2 số âm, 1 số dương $\Rightarrow đpcm$

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy$.

5, $A = (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}) + \frac{1}{2xy} + (\frac{1}{xy} + 16xy) - 12xy \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{1}{2\frac{(x + y)^{2}}{4}} + 2\sqrt{16xy . \frac{1}{xy}} - 12.\frac{(x + y)^{2}}{4} = 4 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{16} - 12.\frac{1}{4} = 11$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}$

Bài 1: Cho 3 số a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng 

$a+b+c+ab+bc+ac\leq 6$

1, $a^{2} + 1 \geq 2a; b^{2} + 1 \geq 2b; c^{2} + 1 \geq 2c; a^{2} + b^{2} \geq 2ab; b^{2} + c^{2} \geq 2bc; c^{2} + a^{2} \geq 2ca$

Cộng vế theo vế các bđt trên $\Rightarrow$ đpcm

a. Đặt $\sqrt{x + 3} = a; \sqrt{x + 7} = b \Rightarrow ab = \sqrt{x^{2} + 10x + 21}$

$\Rightarrow ab = 3a + 2b - 6 \Leftrightarrow (3 - b)(a - 2) = 0$

$\Leftrightarrow b = 3$ hoặc $a = 2$

$\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 1$

 

Bạn tự đặt ĐK nhé

Cực trị:

1. Cho $x, y, z > 0$. Tìm GTNN: $A = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{xyz}$

2. CMR: $T = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}} > 2$ khi $x, y, z > 0$. Xác định GTNN của T 

3. Tìm GTNN của hàm số:

$y = \sqrt{5x^{2} + 20} + \sqrt{5x^{2} - 32x + 64} + \sqrt{5x^{2} - 40x + 100} + \sqrt{5x^{2} - 8x + 16}$

4. Tìm GTNN: $T = \sqrt{a^{2} + 4} + \sqrt{a - 2ab + b^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} - 6b + 10}$

5. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:

$A = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{ab + bc + ca} + \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

6. Cho $x, y, z \in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm GTLN và GTNN của:

$P = \frac{x + y}{2 + z} + \frac{y + z}{2 + x} + \frac{z + x}{2 + y}$

7. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $xyz = 1$. Tìm GTNN:

$P = \frac{x^{2}(y + z)}{y\sqrt{y} + 2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}(z + x)}{z\sqrt{z} + 2x\sqrt{x}} + \frac{z^{2}(x + y)}{x\sqrt{x} + 2y\sqrt{y}}$

8. Cho $a, b, c > 0$. Tìm GTNN:

$Q = \frac{a^{3}}{(1 - a)^{2}} + \frac{b^{3}}{(1 - b)^{2}} + \frac{c^{3}}{(1 - c)^{2}} với a + b + c = 1$

9. Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y \leq 6$. Tìm GTLN và GTNN của:

$C = x^{2}y(4 - x - y)$

10. Cho $x > 0$. Tìm GTNN: $y = x + \frac{11}{2x} + \sqrt{4(1 + \frac{7}{x^{2}})}$

11. Cho $x, y \geq 0$. Tìm GTLN và GTNN: $P = \frac{(x - y)(1 - xy)}{(1 + x)^{2}(1 + y)^{2}}$

12. Cho $x, y, z > 0$ thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm GTNN:

$P = \sqrt{(x^{2} + xy + y^{2})(y^{2} + yz + z^{2})} + \sqrt{(y^{2} + yz + z^{2})(z^{2} + zx + x^{2})} + \sqrt{(z^{2} + zx + x^{2})(x^{2} + xy + y^{2})}$

13. Cho $x, y$ thỏa mãn $(x + y)^{3} + 4xy \geq 2$. Tìm GTNN:

$A = 3(x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2}) - 2(x^{2} + y^{2}) + 1$

14. Cho $x, y \geq 0$ thỏa mãn $x + y = 1$. Tìm GTNN và GTLN:

$S = (4x^{2} + 3y)(4y^{2} + 3x) + 25y$

15. Cho $x, y$ thỏa mãn $x - 3\sqrt{x + 1} = 3\sqrt{y + 2} - y$. Tìm GTLN và GTNN: $P = x + y$

16. Cho $x, y, z \in \left [ -1;1 \right ]$ và $x + y + z = 0$. Tìm GTNN:

$S = \sqrt{1 + x + y^{2}} + \sqrt{1 + y + z^{2}} + \sqrt{1 + z + x^{2}}$

 

Bất đẳng thức:

17. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:

$\frac{a^{2}}{a + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b + 2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c + 2a^{2}} \geq 1$

18. Cho 3 số thực $a, b, c \in \left [ 0;1 \right ]$. CMR:

$3 + a^{3}b^{2} + b^{3}c^{2} + c^{3}a^{2} \geq 2(a^{3} + b^{3} + c^{3})$

19. CMR: Nếu $x, y, z > 0$ và $x(x + y + z) = 3yz$ thì:

$(x + y)^{3} + (x + z)^{3} + 3(x + y)(y + z)(z + x) \leq 5(y + z)^{3}$

20. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc = 1$. CMR:

$\frac{1}{1 + a + b} + \frac{1}{1 + b + c} + \frac{1}{1 + c + a} \leq \frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c}$

21. Cho $a, b, c, d > 0$ thỏa mãn $abcd = 1$. CMR:

$\frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1 + cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$

22. Cho $x, y, z > 0$. CMR:

$\frac{y + z}{x + \sqrt[3]{4(y^{3} + z^{3})}} + \frac{z + x}{y + \sqrt[3]{4(z^{3} + x^{3})}} + \frac{x + y}{z + \sqrt[3]{4(x^{3} + y^{3})}} \leq 2$

23. CMR: Nếu $n$ nguyên dương, $n > 1$ thì:

$\left | a^{n} + b^{n} + c^{n} + d^{n} \right | \leq (\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}})^{n}$

24. Cho $a, b, c \geq 0$. CMR: $2(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)(c^{2} + 1) \geq (a + 1)(b + 1)(c + 1)(abc + 1)$

25. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:

$\frac{11a + 9b}{9a(a + b)} + \frac{11b + 9c}{9b(b + c)} + \frac{11c + 9a}{9c(c + a)} \geq 10$

26. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc = 1$. CMR:

$\frac{2}{(a + 1)^{2} + b^{2} + 1} + \frac{2}{(b + 1)^{2} + c^{2} + 1} + \frac{2}{(c + 1)^{2} + a^{2} + 1} \leq 1$

27. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c \geq abc$. CMR: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \sqrt{3}abc$

 

28. Cho $a, b, c > 0$. CMR: $\sum \frac{a^{4}}{a^{4} + \sqrt[3]{(a^{6} + b^{6})(a^{3} + c^{3})^{2}}} \leq 1$

29. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $ab + bc + ca = abc$. CMR:

$\frac{a^{4} + b^{4}}{ab(a^{3} + b^{3})} + \frac{b^{4} + c^{4}}{bc(b^{3} + c^{3})} + \frac{c^{4} + a^{4}}{ca(c^{3} + a^{3})} \geq 1$

30. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. CMR: $5(a + b + c) + \frac{3}{abc} \geq 18$

31. Cho $a, b, c \geq -1$ thỏa mãn $a + b + c = 1$. CMR:

$\frac{a}{1 + a^{2}} + \frac{b}{1 + b^{2}} + \frac{c}{1 + c^{2}} \leq \frac{9}{10}$

32. Cho $a, b, c > 0$. CMR:

$\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3$

33. Cho $a, b, c \geq 0$. CMR:

$8(a^{2} + 1)^{3}(b^{2} + 1)^{3}(c^{2} + 1)^{3} \geq (a + 1)^{3}(b + 1)^{3}(c + 1)^{3}(a^{3} + 1)(b^{3} + 1)(c^{3} + 1)$

34. Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. CMR:

$\frac{a}{ab + b^{3}} + \frac{b}{bc + c^{3}} + \frac{c}{ca + a^{3}} \geq \frac{3}{2}$

35. Cho $x, y, z > 0$. CMR:

$\frac{2x}{x^{6} + y^{4}} + \frac{2y}{y^{6} + z^{4}} + \frac{2z}{z^{6} + x^{4}} \leq \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{y^{4}} + \frac{1}{z^{4}}$

Chứng minh vs mọi x, y, z dương ta có:

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

bạn tham khảo tại đây

http://diendantoanho...-y-1-1-x1-y1-z/

CMR: Với 2 số nguyên dương $m, n$ thì:

$m!n!(3m + n)!(m + 3n)! \mid (5m)!(5n)!$