superpower

Cho $a,b,c \in (0;\frac{1}{2})$ và thoa $a+b+c=1$. Tìm $GTLN$ và $GTNN$ của biểu thức

$P=\frac{5a-1}{a-a^{2}}+\frac{5b-1}{b-b^{2}}+\frac{5c-1}{c-c^{2}}$

Làm giá trị lớn nhất nhé 

Ta chứng minh

$\frac{5a-1}{a-a^{2}} <= 18a -3$

Biến đổi tương đương, ta được 

$(3a-1)^2 . (2a-1) <= 0$ (Đúng)

Cộng các bất đẳng thức lại, suy ra GTLN của $P$ là $9$ khi $a=b=c=\frac{1}{3} $

Và P không có GTNN nhé ( chưa chứng minh được ) khi thử số cho $a -> 0 , b=0,1$ thì $P$ rất nhỏ

Bài 1:

a)Chứng minh rằng mọi số nguyên tố khác 2 và khác 3 có dạng: $6m\pm 1$

b)Chứng minh rằng có vô số nguyên tố dạng: $6m-1$

 

Bài 2: Chứng minh rằng nếu $n$ là hợp số lớn hơn $4$ thì biểu thức:

               $A=1.2.3.4....(n-2)(n-1)$ $\vdots$ $n$

 

Bài 3: Người ta viết $n$ số nguyên khác 0 thành một hàng ngang (theo thứ tự từ trái sang phải) sao cho mỗi tổng ba số liên tiếp bất kì là số dương và tổng của $n$ số nguyên đó là số âm

a) Chứng minh rằng $n$ không thể là bội của $3$

b)GIả sử (n-2) chia hết cho $3$ và số đầu tiên là số dương.Chứng minh rằng số thứ $3k+2(k=0,1,2,...)$ là số âm, còn số thứ $3k(k=1,2,3,...)$ là số dương

 

Bài 4: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu đen và đỏ.Chứng tỏ rằng tồn tại một tam giác đều mà các đỉnh của nó chỉ được tô bằng một màu

 

Bài 5: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$,các cạnh góc vuông là $a$.Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Từ đỉnh $M$ vẽ góc $45^0$, các cạnh của góc này cắt một hoặc hai cạnh của tam giác tại $E,F$

 

Hãy xác định vị trí của $E,F$ sao cho $S_{MEF}$ đạt $GTLN$.Tính giá trị đó theo $a$

Bài 2

Do $n$ là hợp số 

Xét 1 ước nguyên tố bất kì của $n$, giả sử $p^i$

Thì luôn tồn tại 1 số thuộc $ {1,2,...,n-1} $bằng $p^i$

Do đó ta có đpcm

Cho hàm số f(x) khả vi trên R\{0} thỏa f(xy)=f(x)+f(y) với mọi x,y khác 0.
a. CMR: xf'(xy)=f'(y) với mọi x,y khác 0
b. CMR: xf'(x)=b với mọi x khác 0, b là hằng số.
c. Tìm biểu thức hàm f(x)

$f(x)= e^x$

Cho n>1 và p là số nguyên tố.

Chứng minh nếu $n|p-1$ và $n^{3}-1|p$ thì 4p-3 là số chính phương

Đơn giản thôi

$n^3 -1 | p$ => $n^3 -1 =p$ hoặc $n^3-1=1$

TH1: $n^3-1=1$ => $n^3=2$ (Vô Lý )

TH2: $n^3-1=p$ => $n^3-2=p-1$ chia hết cho $n$

Mà $n^3$ chia hết cho $n$ 

Suy ra $2$ chia hết cho $n$

Suy ra $n=2$ do giả thiết $n>1$

Thay $n=2$ suy ra $p=7$ => $4p-3=25$ là số chính phương

 

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia Tỉnh Hải Dương 2015-2016

 

(thời gian: 180 phút)

 

Câu I:(5 điểm)

   Cho dãy số {$y_n$} thỏa mãn: $y_{1}>0, y^2_{n+1}=y_{1}+y_{2}+...+y_{n}$ với $n \geq 1$. CMR: dãy số {$\frac{y_{n}}{n}$} có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 

Câu II:(6 điểm)

   1, Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn tiếp xúc với tia AB,AC lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Tiếp tuyến tại A và T với (O) cắt nhau tại K. Đường thẳng TE cắt (O) tại điểm M khác T. CMR: K,M,N thẳng hàng.

 

   2, Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường kính AC vuông góc với BD tại điểm H. Gọi I,J,K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng AB,BC,CD,DA. Biết IK và JL đều không đi qua H. CMR: giao điểm của IK và JL nằm trên OH.

 

Câu III:(4 điểm)

   Cho số nguyên dương m và số nguyên tố p với p>m. CMR: số các số nguyên dương n sao cho đa thức $f(x)=mx^2 - (m + n - p)x + n$ có nghiệm hữu tỉ bằng số ước nguyên dương của m.

 

Câu IV:(5 điểm)

   Cho một dãy 2016 ô vuông kề nhau xếp thành một hàng dài. Có bao nhiêu cách điền các số 1,2,3,4,5 vào các ô vuông đó sao cho mỗi ô vuông chỉ điền một số và hiệu hai số trong hai ô kề nhau chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1.

 

Câu 2a là đường tròn mixtilinear góc A bạn nhé. 

Đây là 1 bài khá hay và khó

Cho ba số a,b,c thỏa mãn 0<a<b<c.

Tìm tất cả các số nguyên a,b,c thỏa $abc\vdots (a-1)(b-1)(c-1)$

Đây là đề thi IMO lần thứ 33 hay sao đó. Bạn coi thử. Giải bằng phương pháp đưa về tích :v. Cũng khá hay

$(1)$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}:f(x+y^2+z^3)=f(x)+f^2(y)+f^3(z);\forall x,y,z\in N$

$(2)$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:f(1)=1;f(2)=4;f(f(m)+f(n))=f(f(m))+f(f(n));\forall m,n\in N$

Câu 1:

Cho $x=y=z=0$ Suy ra $f(0)=0$

Thay $x=z=0$, $y=1$, ta được $f(1)=0$ hoặc $f(1)=1$

Khi $f(1)=0$ thì thay y=z=1, ta được $f(x+2)= f(x)$. Do $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ nên $f(x)=0$

Khi  $f(1)=1$ thì ta có $f(x+1)=f(x)+1$, có $f(1)=1$ nên dễ quy nạp $f(n)=n$

Vậy có 2 hàm số thõa yêu cầu bài toán 

$f(x)=0$; $f(x)=x$ 

Đề thi ngày thứ nhất:

 

Thời gian: 180 phút.

 

 

 

Bài 6 (7 điểm).

Chứng minh rằng phương trình $(4x-1)(4y-1)=4z^2+1$ không có nghiệm nguyên dương nhưng có vô số nghiệm nguyên.

 

 

Chém bài 6 tí :v

Bổ đề 1: Số có dạng $x^2+1$ sẽ không có ước số nguyên tố dạng $4k+3$

 Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại $x^2+1$ có ước nguyên tố dạng $4k+3$

 Dễ chứng minh vô lý thôi

Bổ đề 2: Tích 2 số có dạng $4k-1$ sẽ là số có dạng $4k-1$

Bổ đề 3: Số có dạng $4k+3$ sẽ có ước nguyên tố dạng $4k+3$

Áp dụng 3 bổ đề trên, ta được

Xét VT, gọi $p$ là ước số nguyên tố dạng $4k+3$ của $(4x-1)(4y-1)$

Xét VP, $(2z)^2 +1$ không chia hết cho $p$

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương

Ý còn lại chỉ cần xây dựng 1 họ các số là xong. Chứng minh hoàn tất

Cái này dùng đồng nhất à ? Sao tìm được thế ?

Bạn biến đổi tí là ra. Nói chung biến đổi sao cho triệt tiêu là được. Đây là dạng cơ bản trong giới hạn

bạn có thể nói rõ cho mình cách cm $3^{2^{4n}}$ đồng dư vs 3 mod 22 dc k? mình mới học nên ch rõ lắm

Bạn Quy nạp nhé, đơn giản thôi :v

$3^{2^{0}}$ đồng dư 3 mod 22

$3^{2^{1}}$ đồng dư $3^{2}$ mod 22

$3^{2^{2}}$ đồng dư $9^{2}$=15 mod 22

$3^{2^{3}}$ đồng dư $15^{2}$=5 mod 22

Tiếp tục

$3^{2^{4}}$ đồng dư 5^2=3 mod 22 QUAY TRỞ LẠI BAN ĐẦU LẠI

Quy nạp lên là ra. Nói chung cái này tìm quy luật thôi bạn :v

Với lại do thấy 4n+1 nên bạn thử mấy số nhỏ để dự đoán

 

Đề thi chọn đội tuyển lần 2 trường THPT chuyên Hưng Yên

 

 

Câu2 Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$

 

 

$2^y=(x+1)(x^2+1), y\geq 2$

Dễ suy ra x lẻ. Đặt x=2k+1, thay vào, ta đc

$2^(y-2)=(2k^2+2k+1)(k+1)$

$(2k^2+2k+1;k+1)=d$

dễ Suy ra d=1

Suy ra $k+1=1$ và $2k^2+2k+1=2^(y-2)$

hoặc $k+1=2^(y-2)$ và  $2k^2+2k+1=1$

Suy ra k=0=> x=1; y=2. Thử lại thỏa

tìm số dư của $3^{2^{4n+1}}$ khi chia cho 22

Bạn chứng minh quy nạp nhé. Khá dễ

Bạn tính $3^{2^{4n}}$ đồng dư 3 mod 22

               $3^{2^{4n+1}}$ đồng dư 9 mod 22

              $3^{2^{4n+2}}$ đồng dư 15 mod 22

              $3^{2^{4n+3}}$ đồng dư 5 mod 22

Cho $a,b,n \in \mathbb{Z^+}$. Chứng minh rằng 

                             $(n^a-1,n^b-1)=n^{(a,b)}-1$

 

và                          $(n^a+1,n^b+1) | n^(a,b)+1$ khi $n$ chẵn  

Làm ý đầu nha

=>

đặt (n^a-1,n^b-1)=d

đặt ord(n)d=h

Khi đó h|a

           h|b

=> h|(a;b)

Suy ra n^(a;b)-1 chia hết cho d

<= Hiển nhiên nên có điều phải chứng minh.

Bài này còn 1 cách CM theo định lý bezout, bạn có thể tìm trên mạng

Giải PTH trên tập số thực:

$f(x^2+f(y))=xf(y)+2y$

Dễ thấy f  song ánh

khi đó tồn tại a sao cho f(a)=0

Khi đó, thay y=a, ta đc

f(x^2)=2a, với mọi x thuộc R

Do đó f(x)=2a với x>=0. Mà dễ thấy f là hàm lẻ

do đó f(x)=2a với mọi x thuộc R

Suy ra f(x)=2a. Thử lại không thỏa. Vậy không có hàm thỏa yêu cầu bài toán 

Cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả:

f(f(n)) < f(n+1).

C/m f(n)=n , n$\in \mathbb{N}$

Cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả:

f(f(n)) < f(n+1).

C/m f(n)=n , n$\in \mathbb{N}$

Mình chỉ làm được 1 phần thôi nha.

Giả sử hàm cần tìm là 1 hàm đa thưc

Gọi f(n) có bậc là m

Suy ra f(f(n)) sẽ có bậc là m^2

Vì f(f(n))<f(n+1) với mọi n là số tự nhiên

nên m^2 <=m

Suy ra m=0 hoặc m=1

Với m=0 => f(n) là hằng => Vô lý

Với m=1 => f(n)=an+b

Thay vào ta đc a^2n+ab+b<ax+a+b. Suy ra f(n)=n