QDV

$x^{3}-3y^{3}-9z^{3}=0, x\in Z$

Giả sử d=(x,y,z). Đặt $x = dx_{1},y=dy_{1},z=zd_{1}$ . Với $(x_{1},y_{1},z_{1})=1$

$PT\Leftrightarrow x_{1}^{3}-3y_{1}^{3}-9z_{1}^{3}=0\Rightarrow x_{1}=3x_{2}.PT\Leftrightarrow 9x_{2}^{3}-y_{1}^{3}-3z_{1}^{3}=0\Rightarrow y_{1}=3y_{2}$

$PT\Leftrightarrow 3x_{2}^{3}-9y_{2}^{3}-z_{1}^{3}=0\Rightarrow z_{1}=3z_{2}$. Vô lý vì $(x_{1},y_{1},z_{1})=1$

Vậy PT có nghiệm x=y=z=0

$5^{x}+12^{x}=13^{x}, x\in Z$

Dễ thấy PT có nghiệm x=2

PT biến đổi thành

$f_{(x)}=(\frac{5}{13})^{x}+(\frac{12}{13})^{x}-1=0$

Hàm nghịch biến nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm

Vậy nghiệm của PT là x=2

Nếu chưa biết hàm đơn điệu và số nghiệm có thể so sánh trực tiếp $(\frac{2}{13})^{x} và (\frac{12}{13})^{x} với (\frac{2}{13})^{2} và (\frac{12}{13})^{2}$

cho tam giác ABC đường cao AH. M nằm giữa B và C. kẻ MN vuông góc AB. MP vuông góc AC. tính số đo góc NHP

Dễ thấy  H,N,P nhìn AM dưới góc vuông do đó A,N,H,M,P nằm trên một đường tròn. Vậy $\widehat{nmp}=180^{0}-\widehat{A}$

 

Mình đã thử dùng nhân liên hợp

Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}}=1 \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7\sqrt{2x^2+x+9}-25=7\sqrt{2x^2-x+1}-11 \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$

Nhân liên hợp lần 2

Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{8}{7} \vee \frac{14x+23}{25+7\sqrt{2x^2+x+9}}=\frac{14x+9}{11+7\sqrt{2x^2-x+1}} \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$

Đến đây thì mình hết biết làm

 

Đặt $u=\sqrt{2x^{2}+x+9}, v=\sqrt{2x^{2}-x+1}$ u,v>0

$PT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=x+4\\ u+v=\frac{u^{2}-v^{2}}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=x+4\\ u-v=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 2v=x-2 \Leftrightarrow x=0\cup x=\frac{8}{7}$

Cho $x,y,z>0$ thoả: $x\left( x+y+z \right)=3yz$. Chứng minh:

${{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( z+x \right)\le 5{{\left( y+z \right)}^{3}}$ (1)

 

Và sau đây là bài giải còn dang dở của mình:

Từ điều kiện ta có:

$\begin{align}& x\left( x+y+z \right)=3yz \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy+yz+zx=4yz \\ & \Leftrightarrow x\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)=4yz \\ & \Leftrightarrow \left( x+z \right)\left( x+y \right)=4yz \\ \end{align}$

Ta có:

 (1)$\begin{align}& \Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+12yz\left( y+z \right)\le5{{\left( y+z \right)}^{3}} \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3xy\left( x+y \right)+3xz\left( x+z \right)+12yz\left( y+z \right)\le 5{{y}^{3}}+5{{z}^{3}}+12yz\left( y+z \right) \\ &\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}-{{\left( y+z \right)}^{3}}-4{{y}^{3}}-4{{z}^{3}}\le 0 \\ \end{align}$

Đến đây mình không tìm ra được hướng nữa, bạn nào trên nền tảng của bài mình giúp mình giải tiếp đi, cảm ơn nhiều.

Từ ĐK dễ dàng CM $x\leq \frac{y+z}{2}$

Ta lại có

$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}=(2x+y+z)[(x+y)^{2}-(x+y)(x+z)+(x+z)^{2}])\leq 2(y+z)[2x(x+y+z)+y^{2}+z^{2}-x(x+y+z)-yz]\leq 2(y+z)(y+z)^{2}\leq 2(y+z)^{3},"="\Leftrightarrow x=\frac{y+z}{2}$

Laị có

$12yz(y+z)\leq 3(y+z)^{3},"="\Leftrightarrow y=z$

Vậy BĐT được CM . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z