Buổi thi thứ nhất.
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác $ABC$. đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Lấy điểm $J$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $BJ$ song song $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AB$. Chứng minh rằng $IK$ song song $EF$.
Bài 4
Ta sẽ cmr $IK$ vuông góc với $IA$.
Dễ thấy tam giác $BJE$ cân tại B, suy ra $BJ=BE=p-b$ (với $a,b,c$ là các cạnh $BC,CA,AB$ và $p=\frac {a+b+c} {2}$)
Theo định lí Thales
$\frac {AK} {KB}=\frac {AC}{BJ}=\frac {b}{p-b}$
suy ra
$\frac {AK}{AB}=\frac{b}{p}$
mà $\frac{AE}{AB}=\frac{p-a}{c}$
suy ra $\frac{AK}{AE}=\frac{bc}{p(p-a)}$
mà $AE=p-a$ suy ra $AK=\frac{bc}{p}$
Ta sẽ cmr $AE.AK=IA^2$ hay l̀à $\frac {bc(p-a)}{p}=\frac{(p-a)^2}{(cosA/2)^2}$ hay là $p(p-a)=bc(cosA/2)^2$
Thật vậy theo định lí Cosin
$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
mà $(cosA/2)^2=\frac{cosA+1}{2}$
suy ra $(cosA/2)^2=\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}$
Từ đó, $4bc(cosA/2)^2=(b+c)^2-a^2=(b+c-a)(b+c+a)=2(p-a).2p$
suy ra đẳng thức cần cm
Từ đó dễ dàng suy ra được 2 tam giác $AEI$ và $AIK$ đồng dạng, suy ra $\angle AIK=\angle AEI=90$ suy ra $IK$ vuông góc với $IA$
Từ đó ta có đpcm.
- davidsilva98 yêu thích