dreamcatcher170201

 

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

   THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                               Môn:Toán (Vòng 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$

 

Câu 1 (3,5 điểm)

 

1)Giải hệ phương trình:

 

$$\left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=5 & & \\ 4x^2y+8xy^2+5x+10y=1& & \end{matrix}\right.$$

 

2)Giải phương trình:

 

$$\sqrt{5x^2+6x+5}=\frac{64x^3+4x}{5x^2+6x+6}$$

 

Câu 2 (2,5 điểm)

 

1)Với $x,y$ là những số nguyên thỏa mãn đẳng thức $\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}$.Chứng minh rằng:$x^2-y^2$ chia hết cho $40$

 

2)Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đẳng thức : 

 

$$x^4+2x^2=y^3$$

 

Câu 3 (3 điểm)

 

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ . $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $AD$ của đường tròn $(O)$ và $P$ khác $A,D$ .Các đường thẳng $PB,PC$ lần lược cắt $AD$ tại $M,N$ . Đường trung trực của $AM$ cắt đường thẳng $AC,PB$ lần lượt tại $E,K$ . Đường trung trực $DN$ cắt các đường thẳng $BD,PC$ lần lượt tại  $F,L$

 

a)Chứng minh ba điểm $K,O,L$ thẳng hàng

 

b)Chứng minh đường thẳng $PO$ đi qua trung điểm của đọa thẳng $EF$

 

c)Giả sử đường thẳng $EK$ cắt đường thẳng $BD$ tại $S$, các đường thẳng $FL$ và $AC$ cắt nhau tại $T$,đường thẳng $ST$ cắt các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt tại $U$ và $V$ .Chứng minh rằng bốn điểm $K,L,V,U$ cùng thuộc một đường tròn

 

Câu 4  (1 điểm) 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 3$ luôn tồn tại  một cách xếp bộ  $n$ số $1,2,3,...,n$ thành $x_1,x_2,...,x_n$ sao cho $x_j\neq \frac{x_i+x_k}{2}$ với mọi bộ chỉ số $(i;j;k)$ mà $1\leq i<j<k\leq n$

 

                                                                 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

 

Câu 2.2,Mọi người xem hộ mình cách giải này được không ạ
$=>(x^2+1)^{2}=y^3+1$
Đặt $x^2+1=a$ ($a\geq 1;y\geq 0$
$=>a^2=y^3+1=>(a-1)(a+1)=y^3$
Xét $y=0=>a=1=>x=0$
Xét $y\geq 1;$ Đặt $a+1=y^m;a-1=y^n$ ($m;n$ nguyên dương $m>n$ )
=>$y^m-y^n=2;m+n=3$
Do $m>n$ nên $m=2;n=1$=>$y^2-y-2=0=>y=2$=>$x^{2}=2$ (loại)
Vậy $(x;y)=(0;0)$
 

Cho$ x,y,z >0$.CMR

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

Ta có$x^3 +y^3+z^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)$ (Schur)
Ta có $x^3+xy^2\geq 2x^2y$;$y^3+yz^2\geq 2y^2z$;$z^3+zx^2\geq 2z^2x$=>$x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2\geq 2(x^2y+y^2z+z^2x)$
=>$2(x^3+y^3+z^3)+3xyz\geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)$ (đpcm)

ơ.  bạn thay lại thử xem mình thay mà vẫn đúng mà

Sai mà bạn .Với x;y;z là các số như trên thì 3(x+1)(y+1)(z+1)=33,75
4(x+y+z+3)=32.Mà bạn phải chứng minh 3(x+1)(y+1)(z+1)$\leq$ 4(x+y+z+3).33,75 >32 mà bạn

Mình thử làm thôi ~~ bạn coi có đúng k rồi cho mình ý kiến vs =_=

* Do bài này hơi hơi '' khổ'' khi gõ latex nên thông cảm vì mình nói hơi tắt  *      

     Áp dụng bđt cô-si cho vế trái của BĐT cần cm với bộ 3 số :

          $\sum \frac{1}{x^{2}(y+1)^{3}}\geq \frac{3}{\sum (x+1)}=\frac{9}{3\sum (x+1)}$

          do đó cần cm $3\sum (x+1)\leq 4(x+y+z+3)$

         nhân ra - chuyển về ta dc :$x+y+z+6-3(xy+yz+xz)\geq 0 \Leftrightarrow x+y+z+6\geq 3(xy+yz+xz)$

         Mà ta lại có $3(xy+yz+xz)\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\leq x+y+z +2(xyz+xyz+xyz)= x+y+z+6$

           vậy ta có dc đpcm

Với $x=1/2;y=1/2;z=4$ thì ngược dấu bạn a

Nguồn : Thầy HTQuang 

Bài I :1)Ta có $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\vdots 9(đpcm)$
2)$=>a+b=0=>a^3+b^3=0$
Bài II 1) =>$\left ( \sqrt{x+3} +1\right )^{2}=(3x)^{2}=>$
2)$=>(x-y)\left [ (x+y)^{2}+(x-2)^{2}+(y-2)^{2} \right ]=0=>x=y$
Bài III 1) +Xét x=1=>$2+5^y=m^2$
Nếu y lẻ =>$m^2\equiv 7(mod 8)$(loại)
Nếu y chẵn =>$(m-5^k)(m+5^k)=2$ (loại)
+Xét x=2=>$(m-2)(m+2)=5^y;m+2=5^a,m-2=5^b=>5^b(5^{a-b}-1)=4=>a=1=>y=1$(được)
+Xét x>2=> $m^2\equiv 5^y(mod 8)$=>$y=2^n$=>$(m-5^n)(m+5^n)=2^x$ (vô nghiệm)
2)Chứng minh rằng $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}+1}{2}$
Bài IV a) Ta có $\angle EID=2BAC;\angle EMD=2\angle ACE=>\angle EID+\angle EMD=180=>EIDM$ là tứ giác nội tiếp
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Gọi K là giao của FA vs (ABC)
Kẻ đường kính $AS$ 
Chứng minh $K;H;S$ và $H;S;M$ thằng hàng =>$K;H;S$ thẳng hàng =>$FH$ vuông góc với $AM$