dreamcatcher170201

Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm Max M= $\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}$

 

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

   THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                               Môn:Toán (Vòng 2)

                                                                                     Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$

 

Câu 1 (3,5 điểm)

 

1)Giải hệ phương trình:

 

$$\left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=5 & & \\ 4x^2y+8xy^2+5x+10y=1& & \end{matrix}\right.$$

 

2)Giải phương trình:

 

$$\sqrt{5x^2+6x+5}=\frac{64x^3+4x}{5x^2+6x+6}$$

 

Câu 2 (2,5 điểm)

 

1)Với $x,y$ là những số nguyên thỏa mãn đẳng thức $\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}$.Chứng minh rằng:$x^2-y^2$ chia hết cho $40$

 

2)Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đẳng thức : 

 

$$x^4+2x^2=y^3$$

 

Câu 3 (3 điểm)

 

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ . $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $AD$ của đường tròn $(O)$ và $P$ khác $A,D$ .Các đường thẳng $PB,PC$ lần lược cắt $AD$ tại $M,N$ . Đường trung trực của $AM$ cắt đường thẳng $AC,PB$ lần lượt tại $E,K$ . Đường trung trực $DN$ cắt các đường thẳng $BD,PC$ lần lượt tại  $F,L$

 

a)Chứng minh ba điểm $K,O,L$ thẳng hàng

 

b)Chứng minh đường thẳng $PO$ đi qua trung điểm của đọa thẳng $EF$

 

c)Giả sử đường thẳng $EK$ cắt đường thẳng $BD$ tại $S$, các đường thẳng $FL$ và $AC$ cắt nhau tại $T$,đường thẳng $ST$ cắt các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt tại $U$ và $V$ .Chứng minh rằng bốn điểm $K,L,V,U$ cùng thuộc một đường tròn

 

Câu 4  (1 điểm) 

 

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 3$ luôn tồn tại  một cách xếp bộ  $n$ số $1,2,3,...,n$ thành $x_1,x_2,...,x_n$ sao cho $x_j\neq \frac{x_i+x_k}{2}$ với mọi bộ chỉ số $(i;j;k)$ mà $1\leq i<j<k\leq n$

 

                                                                 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

 

Câu 2.2,Mọi người xem hộ mình cách giải này được không ạ
$=>(x^2+1)^{2}=y^3+1$
Đặt $x^2+1=a$ ($a\geq 1;y\geq 0$
$=>a^2=y^3+1=>(a-1)(a+1)=y^3$
Xét $y=0=>a=1=>x=0$
Xét $y\geq 1;$ Đặt $a+1=y^m;a-1=y^n$ ($m;n$ nguyên dương $m>n$ )
=>$y^m-y^n=2;m+n=3$
Do $m>n$ nên $m=2;n=1$=>$y^2-y-2=0=>y=2$=>$x^{2}=2$ (loại)
Vậy $(x;y)=(0;0)$
 

Cho$ x,y,z >0$.CMR

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

Ta có$x^3 +y^3+z^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)$ (Schur)
Ta có $x^3+xy^2\geq 2x^2y$;$y^3+yz^2\geq 2y^2z$;$z^3+zx^2\geq 2z^2x$=>$x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2\geq 2(x^2y+y^2z+z^2x)$
=>$2(x^3+y^3+z^3)+3xyz\geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)$ (đpcm)

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Bài I:1) Giả sử $a;b;c$ là các số thực thỏa mãn $abc=1$ và $3.(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=-9$.Chứng minh rằng $(3a+b)(3b+c)(3c+a)=1$
2)Giải hệ phương trình sau $3x^{2}+4xy=4$ 
                                           $y^{2}=4x$ 
3)Giải phương trình $2\sqrt[3]{3x-2}+2\sqrt{5x-4}+3=7x$
Bài II:1)Tìm $n$ nguyên dương sao cho $4^{4^{n}}+2^{2^{n}}+1$ là số nguyên tố
2)Tìm $x;y$ nguyên dương sao cho $7^{x}=3.2^{y}+1$
Bài III:Cho các số thực $x;y$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\sqrt{3}xy+y^{2}$

Nguồn : Thầy HTQuang 

Bài I :1)Ta có $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\vdots 9(đpcm)$
2)$=>a+b=0=>a^3+b^3=0$
Bài II 1) =>$\left ( \sqrt{x+3} +1\right )^{2}=(3x)^{2}=>$
2)$=>(x-y)\left [ (x+y)^{2}+(x-2)^{2}+(y-2)^{2} \right ]=0=>x=y$
Bài III 1) +Xét x=1=>$2+5^y=m^2$
Nếu y lẻ =>$m^2\equiv 7(mod 8)$(loại)
Nếu y chẵn =>$(m-5^k)(m+5^k)=2$ (loại)
+Xét x=2=>$(m-2)(m+2)=5^y;m+2=5^a,m-2=5^b=>5^b(5^{a-b}-1)=4=>a=1=>y=1$(được)
+Xét x>2=> $m^2\equiv 5^y(mod 8)$=>$y=2^n$=>$(m-5^n)(m+5^n)=2^x$ (vô nghiệm)
2)Chứng minh rằng $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}+1}{2}$
Bài IV a) Ta có $\angle EID=2BAC;\angle EMD=2\angle ACE=>\angle EID+\angle EMD=180=>EIDM$ là tứ giác nội tiếp
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Gọi K là giao của FA vs (ABC)
Kẻ đường kính $AS$ 
Chứng minh $K;H;S$ và $H;S;M$ thằng hàng =>$K;H;S$ thẳng hàng =>$FH$ vuông góc với $AM$
 

13001070_10208636162278398_2506054039610135163_n.jpg

Bài I
1.$a^{3}+b^{3}=2(c^{3}-8d^{3})=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3c^{3}-15d^{3}\vdots 3$ .Mà ta có$a^{3}-a\vdots 3=>\sum a^{3}-\sum a\vdots 3=>a+b+c+d\vdots 3$ (đpcm)
2.Xét x=2(loại)
  Xét x=3(được)
Xét x>3=>x lẻ => $x^{2}$ chia 3 dư 1;$2^{x}$ chia 3 dư -1=>$x^{2}+2^{x}\vdots 3$ .Vậy x=3
Bài II
1.=>$\sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}=2=>2\sqrt{2x^{2}+11x+19}=3x+8=>$ $4(2x^{2}+11x+19)=9x^{2}+48x+64=>x^{2}+4x-12=0=>x=2$
2.=>$\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=>(x+y)(y+z)(z+x)=0=>(x;y;z)=(3;2;-2)$ và các hoán vị
Bài III
1.Ta có $(4x+3)(2x-1)^{2}\geq 0=>\frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x-1=>P\geq 4(x+y+z)-3\geq 3$

Cho $0\leq a;b\leq 1$ .Tìm Max $F=\frac{a^{2}}{4b+3}+\frac{b^{2}}{4a+3}$

c)OM=ON;OA vuông góc với MN ;=>OA là đường trung trực của MN =>$\angle AMN=\angle ANM=>\angle ANF=\angle NBF=>$ AN là tiếp tuyến của (NBF)=>$AN^{2}=AF.AB=AH.AD$=>AN tiếp tuyến của (NHD) (đpcm)

5656

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$ suy ra $x,y,z>0$ và $xyz=1$.

 

BĐT tương đương với $\frac{x^{3}}{z+2}+\frac{y^{3}}{x+2}+\frac{z^{3}}{2+y} \geqslant 1$

 

Theo C-S:

$$VT \geqslant \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}$$

 

Ta cần chứng minh:

$$\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )+2\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )\geqslant 2(x+y+z)+(xy+yz+zx)$$

 

Theo AM-GM:

$VT\geqslant 2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-3+3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z^{4}}+\left ( x^{2} y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\right )$

$\geqslant 2\left [ 2\left ( x+y+z \right )-3 \right ]-3+3+2\left ( xy+yz+zx \right )-3=VP+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)-9$

$\geqslant VP+2.3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}-9=VP$

 

 

Ta có đpcm.

Đặt x+y+z=a;xy+yz+zx=b=>$b\geq 3;a^{2}\geq 3b$=>$b^{2}\geq 3b=>3b^{2}\geq 3b+2b^{2}=>3b^{2}\geq 3b+6a=>b^{2}\geq b+2a$.Mà ta có $a^{2}\geq 3b=>a^{2}-2b\geq b=>(a^{2}-2b)^{2}\geq b^{2}\geq b+2a=>(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq (xy+yz+zx)+2(x+y+z)$.Ta có $\sum \frac{x^{3}}{z+2}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(xy+yz+zx)+2(x+y+z)}\geq 1$=>đpcm

Cho $x;y;z>0$ thỏa mãn $x+y+z=\sqrt{3}$ .Tìm Min $P=\sqrt{172+x^{2}}+\sqrt{172+y^{2}}+\sqrt{172+z^{2}}$

Tìm $x;y\epsilon N$ sao cho $5^{x}+12^{x}=y^{2}$

C/m: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$ với a, b, c là các số dương?

Bài này bạn lầy từ đâu vậy,giống trong đề thi thử khtn quá

$\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$

$4x^{3}+x=(x+1)\sqrt{2x+1}$