babylearnmathmv

dồn biến

(x-3)(x-10)<=0~>x²+30<=13x~>x+30/x<=13~>x+2/x<=13-28/x<=13-28/10=51/5

dấu bằng có <~> x=10

cho mình hỏi vì sao bạn nghĩ được cách nhân 2 rồi mới cộng vậy    giúp mình với

cây bên trên có x⁴;y² bên dưới có x²y nên theo thói quen ta thường nhân 2 để tạo ra bình phương

mặt khác ta nhận thấy rằng nếu nhân 2 thì pt2 ta có 2x²+4y và sau khi cộng 2 pt lại thì xuất hiện đại lượng -2(x²+y)       

bài 2 dùng cauchy-schward dạng engel là okie :V

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

sử dụng hằng đẳng thức lagrange ta có (1+b²)(1+c²)=(b+c)²+(bc-1)² và 2(1+a²)=(1+a)²+(1-a)²

áp dụng bđt cauchy-schward ta có [((b+c)²+(bc-1)²)((1+a)²+(1-a)²)]^1/2+2(1+abc)>=(b+c)(1+a)+(bc-1)(1-a)+2(1+abc)=(a+1)(b+1)(c+1)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1  

S.O.S thì dễ nhưng mình muốn có cách giải sơ cấp hơn, cách S.O.S này phải chứng minh điều kiện của các hệ số $S_{a},S_{b},S_{c}$

Với lại đi thi họ không chấp nhận, bạn ạ 

okie :v để tớ nghĩ thêm

chắc dùng S.O.S phải ko bạn 

hình như dùng S.O.S khá đơn giản 

câu phương trình vô tỉ nhân liên hợp

câu hệ pt đặt x^2-x=a; y^2-2y=b đưa về hệ đối xứng loại 1

M=(x-y)²+(x+1/2)²-1/4 >= -1/4

dấu = xảy ra khi x=y=-1/2

câu 1,2 đặt ẩn phụ

câu 3 đơn điệu hàm số

câu 4 nhân chéo

câu 5 lấy pt1 trừ pt2 ~> x+y   

áp dụng bđt bunhiacopski dạng phân thức ta có $VT\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+x+y+z}$

bđt cần cm tương đương với $2(x+y+z)^{2} \geq 9+3(x+y+z)$

do xyz=1 ~> x+y+z>=3 ~> (x+y+z)²>=3(x+y+z)>=9 suy ra đpcm

dấu bằng có khi x=y=z=1

x+y >= 2(xy)^1/2 ~>x+y+z= 1 >= z + 2(xy)^1/2

~> z >= z²+ 2z(xy)^1/2 ~> z+xy >= z²+2z(xy)^1/2+xy = (z+(xy)^1/2)²

~> (z+xy)^1/2 >= z + (xy)^1/2 tương tự (y+xz)^1/2>= y+(xz)^1/2 ; (x+yz)^1/2 >= x+(yz)^1/2 

^{cộng 3 bđt trên ta có đpcm với đk x+y+z =1}  

câu b là 1 dạng thù hình của bđt schur bậc 1

Ta có a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = sigma a^2/(ab+ac) >= (a+b+c)^2/2(ab+bc+ca)

Mà (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ca)

suy ra a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 3/2

với sigma căn của  a/(2b+2c) = sigma a/ căn của (2ab+2ac) 

sau đó bạn dùng bđt AMGM đánh giá cái mẫu đó để ra biểu thức >=o  3/2

từ đó cọngo hai vế suy ra đpcm

bạn j ơi đánh giá cây thứ 2 kiểu chi rứa