hthang0030

Bày này khá dễ

Min thì bạn sử dụng bất đẳng thức $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$

Max thì bạn bung biểu thức kia ra,ta được $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq ab+bc+ac$ (Luôn đúng vì $0\leq a,b,c\leq 1$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Viết lại bài toán dưới dạng$f(a,b,c)\geq 10$

Dễ dàng đoán được dấu bằng xảy ra khi $a=b$ và $c=0$ 

Từ đó ta nghĩ đến việc đặt $t=\frac{a+b}{2}$

Sau đó ta sẽ chứng minh $f(a;b;c)\geq f(t;t;c)$

Bạn có thể dễ dàng chứng minh điều này bằng biến đổi tương đương

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh:$f(t;t;c)\geq 10$ (*)

Thật vậy (*) <=>$2\frac{t^2+16tc}{t^2+c^2}+\frac{c^2+16t^2}{2t^2}\geq 10$

<=>$2\frac{t^2+16tc}{t^2+c^2}-2+\frac{c^2+16t^2}{2t^2}-8\geq 0$

<=>$\frac{32tc-2c^2}{t^2+c^2}+\frac{c^2}{2t^2}\geq 0$ (Luôn đúng vì $t\geq c\geq 0$ )

Vậy $f(a,b,c)\geq 10$ (ĐPCM)

Đây là lời giải của mình:
Dễ thấy $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)$

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$

=>$b^2$ nằm giữa $a^2$ và $c^2$ $ac$ nằm giữa $ab$ và $bc$

=>$(ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^3b+ab^2c+bc^3)$ (Theo BĐT Chebysev)

Ta sẽ chứng minh $3(a^3b+ab^2c+bc^3)\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ (*)

Thật vậy:(*) <=>$b^3+ac^2\leq ab^2+bc^2$

<=>$(a-b)(b^2-c^2)\geq 0$ (Luôn đúng)

Vậy:$a^3b+b^3c+c^3a\leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$ (ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$ Chắc bạn kia viết nhầm đề

Lời giải đúng:

$\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b}=3$ mà $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{b}{a+b}$ nên có $ĐPCM.$

 

Bạn quy đồng thật à??? Đáng quí cho lòng kiên nhẫn của bạn 

Mình thấy nó cho điều kiện $a\geq b\geq c\geq 0$ nên mình nghĩ đến việc quy đồng để đưa về dạng bđt hoán vị.Thực ra thì quy đồng nó triệt tiêu hết biến nên cx nhẹ nhàng,cơ mà cách của bạn thì đúng là nhanh hơn thật

Ta có:

$2^2=1.2.3-2$

$3^2=2.3.4-3$

....

$n^2=(n-1)n(n+1)-n$

=>$1^2+2^2+...+n^2=1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+..+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S=99+9999+999999+99999999+9999999999=10^2-1+10^4-1+10^6-1+10^8-1+10^{10}-1=10101010100-5=10101010195$

https://vn.answers.y...08234504AA30RlV

Lần sau đọc lời giải rồi hãy dẫn link nhé bạn!Bạn kia đã giải câu cuối đâu!
Ta có AD là phân giác góc A

=>$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ (1)

Gọi U,V là hình chiếu của M lên AB và AC
VÌ S_ABM=S_ACM nên MU.AB=MV.AC

=>$\frac{AB}{AC}=\frac{MV}{MU}$ (2)

Mặt khác theo hệ quả Ta-Lét.Ta có:

$\frac{NK}{MU}=\frac{NH}{MV}=\frac{AN}{AM}$

=>$\frac{MV}{MU}=\frac{NH}{NK}$ (3)

Từ (1).(2) và (3)

=>$\frac{BD}{CD}=\frac{NH}{NK}$

=>BD.NK=NH.CD (ĐPCM)

Dễ thấy b,c cùng dấu vì $a^2=bc$

TH1:b,c<0

=>a+b+c<a

=>abc<a

=>bc<1

<=>a<1

Mặt khác $b+c=abc-a=a^3-a$ và $bc=a^2$

=>$b^2+c^2=(a^3-a)^2-2a^2=a^6-2a^4-a^2=a^4(a^2-1)-a^2(a^2+1)<0$ (vô lí)

TH2:b,c>0

Áp dụng bđt AM-GM.Ta có:

$abc=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

<=>$a^3\geq 3\sqrt[3]{a^3}$

<=>$a\geq \sqrt{3}$

Góp ý 1 lời giải.Khá chày cối.Bạn nào có cách hay hơn mong được chỉ giáo -.-

Coi $x^3$ là ẩn.Phương trình có nghiệm nguyên

=>$\Delta$ là số chính phương

<=>$4y^3+9y^2=a^2$ Mà $a\vdots y$

Đặt a=by =>$4y^3+9y^2=b^2y^2$

<=>$9+4y=b^2$

Vì b lẻ đặt $b=2k+1$

=>y=(k-1)(k+2)

=>$\sqrt{\Delta }=\sqrt{y^2(9+4y)}=y\sqrt{9+4y}=(k-1)(k+2)\sqrt{9+4(k-1)(k+2)}=(k-1)(k+2)\sqrt{4k^2+4k+1}=(k-1)(k+2)(2k+1)$

=>$x^3=\frac{-y+\sqrt{\Delta }}{2}=\frac{-(k-1)(k+2)+(k-1)(k+2)(2k+1)}{2}=(k-1)k(k+2)$ (vì x>0)

=>$(k-1)^3<(k-1)k(k+2)<(k+1)^3$

=>$x^3=k^3$

Thay vào giải PT bậc 3 được x=k=2

Vậy PT có nghiệm nguyên dương (x;y)=(2;4)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn:

$x^6+x^3y=y^3+2y^2$

Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1

Chứng minh rằng: $\sqrt{3}.xy+2.\sqrt{xyz}-2.\sqrt{z}+\sqrt{3}.z\leq 0$

Có lẽ bài này bế tắc về ý tưởng hơn là bế tắc trong quá trình giải.Định hướng cách làm:Nhận thấy đề bài thiếu thiếu cái gì đó       ta nghĩ đến việc cộng thêm vào $\frac{z}{z+xy}$ .Dễ thấy $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4 }$ Khi đó bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều      Ta chỉ cần chứng minh $\frac{\sqrt{xyz}}{z+xy}-\frac{\sqrt{z}}{z+xy}\leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .......

Gợi ý: Câu 2 dùng bđt $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ cho PT thứ 2.Cộng vào rồi xét $\Delta$ .Ta được $\frac{-1-2\sqrt{21}}{2}\leq x\leq \frac{-1+2\sqrt{21}}{2}$

Câu 3:PT <=>$(2\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{x}-y)^2=0$ =>$x=0,25;y=0,5$

Cậu có thể làm thế này dễ hơn này.PT<=>$x^2+ax+2+b.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$ .Đến đây sử dụng bđt bunhiacopxki ta được 1 pt bậc 2 ẩn là $x^2+\frac{1}{x^2}$ Biện luận để pt có nghiệm $<=>\Delta \geq 0$ => $a^2+b^2\geq 8$