When

Bài 2: Dễ thấy u_n>0 với mọi số nguyên dương n

TBằng quy nạp ta chứng minh được u_n>3 với mọi $n\geq 2$

Từ đó suy ra u_n tăng. Giả sử u_n bị chặn trên, suy ra u_n có ghhh. Đặt limun=L

Chuyển qua gh, được L=1 hoặc L=2 (vô lý)

Do đó $limu_n=+\infty$

Dễ dàng c/m được $\frac{u_{i}-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_{i}-2}-\frac{1}{u_{i+1}-2})$ (chổ này biến đổi tương đương thôi)

Do đó: $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}=2015(\frac{1}{u_1-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2})=2015-\frac{2015}{u_{n+2}-2}$

Suy ra limvn=2015

Cái này dùng đồng nhất à ? Sao tìm được thế ?

Câu 3/

Theo BĐT AM-GM 5 số, có:

$(\sqrt{a})^4+\sum \frac{36\sqrt{6}}{\sqrt{a}}\geq 180$.

Do đó:

$A\geq 180-\frac{36\sqrt{6}.4-6}{\sqrt{a}}-\sqrt{6}\geq 180-\frac{36\sqrt{6}.4-6}{\sqrt{6}}-\sqrt{6}=36$

Dấu bằng: $a=6$

Sao biết chuyển về $\sqrt{a}^4+ \sum \frac{36\sqrt{6}}{\sqrt{a}}$ vậy ?

 

Đề thi chọn đội tuyển lần 2 trường THPT chuyên Hưng Yên

 

Câu1 Giải phương trình trên tập số thực: $3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0$

Lời giải :

 $$3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0$$$$\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{2-x^2}-(2x-2))+5x^2-8x+2=0(*)$$$$\Leftrightarrow (x+2)\begin{pmatrix} \dfrac{2-x^2-(2x-2)^2}{\sqrt{2-x^2}+(2x-2)} \end{pmatrix}+5x^2-8x+2=0$$$$\Leftrightarrow (x+2)\begin{pmatrix} \dfrac{-5x^2+8x-2}{\sqrt{2-x^2}+(2x-2)} \end{pmatrix}+5x^2-8x+2=0$$$$\Leftrightarrow (5x^2-8x+2)(1-\frac{x+2}{\sqrt{2-x^2}+(2x-2)})=0$$$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 5x^2-8x+2=0\\ \sqrt{2-x^2}=2-x \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x=\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}\\ x=\dfrac{4-\sqrt{6}}{5}\\ x=1 \end{bmatrix}$$

Thử lại , ta có tập nghiệm: $S= \frac{4+\sqrt{6}}{5}$

_______________

 

[ ... ]

 

- Một số phương pháp chọn lọc: Giải các bài toán sơ cấp (Tập 1, 2, 3): Khoa Toán -Cơ - Tin - ĐHKHTN (ĐHQGHN), Khối Phổ thông Chuyên Toán Tổng hợp

- Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ

- Tuyển tập Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (Năm 2010, 2011, 2012, 2013)

- Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1964 - 1994)

- The IMO Compendium (Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ

 

...

Cảm ơn mọi người.

 

Anh chuyển nhượng free ạ ? Tiền ship thì sao ạ ?

Tính 

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^3}$

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx- sinx}{(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})x^3}= \lim_{x\rightarrow 0}\begin{bmatrix} \dfrac{tanx- sinx}{x^3}.\dfrac{1}{(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})} \end{bmatrix}$$

Xét: $$\frac{tanx- sinx}{x^3}=\frac{sinx}{x}.\frac{1-cosx}{x^2.cosx}=\frac{sinx}{x}.\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{(1+cosx)x^2.cosx}=\frac{sinx}{x}.\frac{1-cos^2x}{(1+cosx)x^2.cosx}==\frac{sinx}{x}.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{1}{(1+cosx).cosx}==\frac{sin^3x}{x^3}.\frac{1}{(1+cosx).cosx}$$

Vậy $$\lim_{x\rightarrow 0}\begin{bmatrix} \dfrac{tanx- sinx}{x^3}.\dfrac{1}{(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})} \end{bmatrix}= \lim_{x\rightarrow 0}\begin{bmatrix} \dfrac{sin^3x}{x^3}.\dfrac{1}{(1+cosx)cosx}.\dfrac{1}{\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}} \end{bmatrix}=1.\frac{1}{2.1}.\frac{1}{1+1}=\frac{1}{4}$$