When

 

Đề thi chọn đội tuyển lần 2 trường THPT chuyên Hưng Yên

 

Câu1 Giải phương trình trên tập số thực: $3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0$

Lời giải :

 $$3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0$$$$\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{2-x^2}-(2x-2))+5x^2-8x+2=0(*)$$$$\Leftrightarrow (x+2)\begin{pmatrix} \dfrac{2-x^2-(2x-2)^2}{\sqrt{2-x^2}+(2x-2)} \end{pmatrix}+5x^2-8x+2=0$$$$\Leftrightarrow (x+2)\begin{pmatrix} \dfrac{-5x^2+8x-2}{\sqrt{2-x^2}+(2x-2)} \end{pmatrix}+5x^2-8x+2=0$$$$\Leftrightarrow (5x^2-8x+2)(1-\frac{x+2}{\sqrt{2-x^2}+(2x-2)})=0$$$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 5x^2-8x+2=0\\ \sqrt{2-x^2}=2-x \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x=\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}\\ x=\dfrac{4-\sqrt{6}}{5}\\ x=1 \end{bmatrix}$$

Thử lại , ta có tập nghiệm: $S= \frac{4+\sqrt{6}}{5}$

_______________

Tính 

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^3}$

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx- sinx}{(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})x^3}= \lim_{x\rightarrow 0}\begin{bmatrix} \dfrac{tanx- sinx}{x^3}.\dfrac{1}{(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})} \end{bmatrix}$$

Xét: $$\frac{tanx- sinx}{x^3}=\frac{sinx}{x}.\frac{1-cosx}{x^2.cosx}=\frac{sinx}{x}.\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{(1+cosx)x^2.cosx}=\frac{sinx}{x}.\frac{1-cos^2x}{(1+cosx)x^2.cosx}==\frac{sinx}{x}.\frac{sin^2x}{x^2}.\frac{1}{(1+cosx).cosx}==\frac{sin^3x}{x^3}.\frac{1}{(1+cosx).cosx}$$

Vậy $$\lim_{x\rightarrow 0}\begin{bmatrix} \dfrac{tanx- sinx}{x^3}.\dfrac{1}{(\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx})} \end{bmatrix}= \lim_{x\rightarrow 0}\begin{bmatrix} \dfrac{sin^3x}{x^3}.\dfrac{1}{(1+cosx)cosx}.\dfrac{1}{\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}} \end{bmatrix}=1.\frac{1}{2.1}.\frac{1}{1+1}=\frac{1}{4}$$