sunsetinparis

Xin bổ sung BĐT cộng mẫu (Schwarz) với bộ 2,3 số:
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
Dấu bằng xảy ra khi:$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
*BĐT Cô-si cho 3 số không âm:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$(Với trình độ lớp 8 thì BĐT chỉ để tận dụng điều kiện $xyz=k$ với k cho trước)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z(=\sqrt[3]{k})$

Đặt $ x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c} \Rightarrow xyz=1$ và:
$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant^{Schwar} \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2} \geqslant^{Cauchy}\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}=VP (\square )$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

xyz−−−√32xyz−−−√32x2y+z+y2x+z+z2x+y⩾Schwar(x+y+z)22(x+y+z)=x+y+z2⩾Cauchy3xyz−−−√32=32=VP(□)