tamthien19

Sử dụng phép biến đổi Gauss-Jordan thì mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận có dạng $\begin{pmatrix} I_{r} & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ thông qua các phép biến đổi sơ cấp. Từ đây suy ra kết quả mà ta đang cần. 

Cho em hỏi: sau khi dùng Gauss-Jordan đưa về ma trận dạng trên thì hạng nó có chắc bằng nhau không? Em cảm ơn.

Mình nghĩ phát biểu đúng phải là hai ma trận tương đương khi và chỉ khi có cùng hạng, chứ đồng dạng thì không chính xác. ạ

Dạ đúng rồi, do em đọc phần này là ma trận vuông ạ. Nếu có thể chứng minh giùm em hoặc hướng dẫn giùm em. Em xin cảm ơn!!!

Không phải thế này, mà là nếu ta chứng minh được trong trường hợp $P=I_n$ thì cũng chứng minh được cho $P$ khả nghịch bất kì.
Giả sử ta chứng minh được với trường hợp $P=I_n$ và $A$ bất kì.
Giờ xét $P$ bất kì và $A$ bất kì, ta xét trường hợp $P'=I_n$ và $A'=P^{-1}A$, ta tìm được $C'$ sao cho $I_n+C'$ và $A'-C'$ khả nghịch. Lúc này ta lấy $C=PC'$ thì $C+P=P(I_n+C)$ và $A-C=P(A'-C')$ khả nghịch, vậy ta chứng minh được cho $P$ và $A$ bất kì.
Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng sẽ đúng với $A$. Cơ mà chắc không cần?! Chỉ cần lấy $C$ sao cho $I_n+C$ là ma trận tam giác trên và $A-C$ là ma trận tam giác dưới và chúng có tích hệ số đường chéo (tức định thức của chúng) khác $0$

Em xin cảm ơn. Anh/chị có thể làm rõ dòng thứ 5: "Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng đúng với $A$"
Em làm như thế này ổn không:
Do $C$ khả nghịch nên đặt $M=H^{-1}CH$ khả nghịch và $B=H^{-1}AH$ đồng dạng A. Ta có: $det(B-M)=detH^{-1}.det(A-C).detH\neq 0$. Vậy $A-C$ khả nghịch.

Post hết lời giải lên mới biết được em.

Dạ
" Cho K là trường có số phần tử khác 2. Giả sử $A\epsilon M_n(K)$  và $P\epsilon M_n(K)$. Khi đó, nếu $P\epsilon GL_n(K)$ thì tồn tại ma trận $C\epsilon GL_n(K)$ sao cho cả 2 ma trận $A-C$ và $C+P$ đều khả nghịch."
Trong phần đầu chứng minh có nói: Không mất tính tổng quá thay ma trận $P=I_n$ nên chỉ cần chứng minh $C+I_n$ khả nghịch và thay ma trận $A$ bởi ma trận $B$ đồng dạng với nó nên chỉ cần chứng minh $B-C$ khả nghịch.

Em chưa  hiểu là sao lại thay $P=I_n$ và thay $A$ bởi $B$.
Em nghĩ là nếu $C+I_n$ khả nghịch thì suy ra $C+P$ khả nghịch và $B-C$ khả nghịch thì $A-C$ khả nghịch, mà em không biết cách chứng minh vì sao lại vậy.
Em xin cảm ơn!!!

Bài này dùng trực tiếp định nghĩa thôi.

Có thể gợi ý 1 tí được không, mình dùng định nghĩa mà vẫn chưa được.