Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Baoriven

Đăng ký: 10-10-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:24
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $c(ac+1)^2=(2c+b)(3c+b)$

31-12-2017 - 16:38

Từ điều kiện bài toán thì: $c(ac+1)^2=6c^2+5bc+b^2\Rightarrow b^2\vdots c$.

Gọi $p$ là ước nguyên tố tùy ý của $c$.

Ta có: $2v_p(b)\geq v_p(c)$.

Giả sử $v_p(b)\geq v_p(c)$.

Do $(ac+1;c)=1$ nên : $v_p(c)=v_p(2c+b)+v_(3c+b)\geq 2v_p(c)$. (vô lý).

Vậy $v_p(b)< v_p(c)$.

Nên $v_p(c)=v_p(2c+b)+v_p(3c+b)\geq 2v_p(b)$.

Do đó: $v_p(c)=2v_p(b)$.

Suy ra $c$ là số chính phương. 


Trong chủ đề: CMR: $a+b+c\leq 3$ với $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$.

30-12-2017 - 21:05

Ta có thể dùng phản chứng.

Giả sử $a+b+c< 3$.

Khi đó: $9=2(a^2+b^2+c^2).1^2+3abc.1^3> 2(a^2+b^2+c^2)(\frac{3}{a+b+c})^2+3abc.(\frac{3}{a+b+c})^3=\frac{18(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{81abc}{(a+b+c)^3}.$

BĐT này tương đương với : $(a+b+c)^3> 2(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc.$.

Sau khi thu gọn, ta được: $a^3+b^3+c^3+3abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$.

Theo $Schur$ điều này vô lí.

Nên ta có đpcm.


Trong chủ đề: Đề cử Thành viên nổi bật 2017

29-12-2017 - 18:50

Xin đề cử ecchi123, manhtuan00

Cả hai đóng góp rất tích cực cho Topic "Mỗi Tuần một bài toán hình".


Trong chủ đề: Tìm tất cả các hàm thỏa $(x+y^{2})f(yf(x))=xyf(y^{2...

26-12-2017 - 15:47

Trường hợp $f(x)$ là hàm hằng thì $f(x)\equiv 0$.

Giả sử tồn tại $x\in \mathbb{R}$ thỏa $f(x)\neq 0$.

Gọi $P(x;y)$ là phép thế bộ $(x;y)$.

$P(x;0)$ ta được $f(0)=0$.

$P(x;1)$ ta được $(x+1)f(f(x))=x(f(f(x)+1)$ suy ra $f$ đơn ánh.

$P(-y^2,y): -y^3f(y^2+f(-y^2))=0=f(0)$. 

Suy ra $f(x)=x,\forall x\leq 0$.

Ta dùng $P(x_0,-y);P(x_0,y)$ với $f(x_0)\neq 0$, ta được $f(x)=-f(-x)$.

nên ta được $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$.


Trong chủ đề: $\frac{a}{a+bc} + \frac{b}...

22-12-2017 - 07:42

Do $a+b+c=1$ nên ta có ngay $a+bc=(a+b)(a+c)$

Khi đó $B=\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$.

Mình nghĩ sử dụng phép biến đổi :

$(ab+bc+ca)(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ để chứng minh BĐT: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{8}{9}(ab+bc+ca)$.

Tuy nhiên ở đây đề bài cần sửa lại là tìm MAX.