Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Baoriven

Đăng ký: 10-10-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:41
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: GPT: $\sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2...

Hôm qua, 21:10

Mình xin trình bày cách khác, cũng sử dụng liên hợp.

ĐK: $x\geq \frac{2}{3}$.

PT ban đầu tương đương với:

$(\sqrt[3]{3x+2}-2)+(x\sqrt{3x-2}-2x)+(2x+2-2\sqrt{2x^2+1})=0$

$\Leftrightarrow (x-2)[\frac{3}{\sqrt[3]{(x+2)^2}+2\sqrt[3]{x+2}+4}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^2+1}}]=0$

Nhận thấy ngay pt có nghiệm $x=2$.

Ta chứng minh: $\frac{3}{\sqrt[3]{(x+2)^2}+2\sqrt[3]{x+2}+4}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^2+1}> 0$.

Thực tế chỉ cần chứng minh: $\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{2}{x+1+\sqrt{2x^2+1}> 0$.

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2x^2+1}+(\sqrt{3x-2}-1)^2> 0$.

Nên pt có nghiệm duy nhất $x=2$.


Trong chủ đề: $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$

19-02-2017 - 21:28

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

$(a+b+c+1)^2\leq (a^2+3)[1+\frac{(b+c+1)^2}{3}]$

Ta cần chứng minh:

$1+\frac{(b+c+1)^2}{3}\leq \frac{(b^2+3)(c^2+3)}{4}$.

$\Leftrightarrow 11+3b^2c^2+5(b^2+c^2)\geq 8(b+c)+8bc$.

$\Leftrightarrow 3(bc-1)^2+4(b-1)^2+4(c-1)^2+(b-c)^2\geq 0$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.


Trong chủ đề: GPT: $\sum_{i=0}^{n}\sqrt{\f...

19-02-2017 - 21:09

Chuyển hết về VT. 

Xét hàm: $f_n(x)=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x+1}{2}}+...+\sqrt{\frac{x+n}{n+1}}-\frac{n+1}{x^{2017}}$.

Ta có: $f'_n(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2\sqrt{(x+i)(i+1)}}+\frac{2017(n+1)}{n^{2018}}>0$.

Do đó PT $f_n(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

Ta thấy $f_n(1)=0$. 

Nên $x=1$ là nghiệm của pt.


Trong chủ đề: Không vào được latex

16-02-2017 - 21:09

Em có thể xài các web latex online rồi copy công thức lại thêm 2 dấu $ ở đầu và cuối.

 

P/S: Học thuộc luôn càng tốt á em :) .


Trong chủ đề: $\left\{\begin{matrix}2x^3+9x^2+12x=y^3+3y^2+4y+15...

14-02-2017 - 07:54

Đặt: $f(t)=2t^3+9t^2+12t; g(t)=t^3+3t^2+4t+15.$

Nhận thấy ngay $g(t)$ đồng biến do $g'(t)> 0.$

Giả sử $x=max[x;y;z].$

Dó đó: 

$\left\{\begin{matrix}g(x)\geq g(y) \\ g(x)\geq g(z) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)\geq f(x) \\ f(z)\geq g(z) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x\leq 1 \\ z\geq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\leq 1\leq z$.

Do đó: $x=z=1$ do ta giả sử $x$ lớn nhất.

Từ đó có được $y=1$.

Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=1$.