Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Baoriven

Đăng ký: 10-10-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:41
****-

#672605 GPT: $\sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\s...

Gửi bởi Baoriven trong Hôm qua, 18:11

Giải phương trình:

$\sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\sqrt{2x^2+1}$




#672142 $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$

Gửi bởi Baoriven trong 19-02-2017 - 21:28

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

$(a+b+c+1)^2\leq (a^2+3)[1+\frac{(b+c+1)^2}{3}]$

Ta cần chứng minh:

$1+\frac{(b+c+1)^2}{3}\leq \frac{(b^2+3)(c^2+3)}{4}$.

$\Leftrightarrow 11+3b^2c^2+5(b^2+c^2)\geq 8(b+c)+8bc$.

$\Leftrightarrow 3(bc-1)^2+4(b-1)^2+4(c-1)^2+(b-c)^2\geq 0$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.




#672139 GPT: $\sum_{i=0}^{n}\sqrt{\frac...

Gửi bởi Baoriven trong 19-02-2017 - 21:09

Chuyển hết về VT. 

Xét hàm: $f_n(x)=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x+1}{2}}+...+\sqrt{\frac{x+n}{n+1}}-\frac{n+1}{x^{2017}}$.

Ta có: $f'_n(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2\sqrt{(x+i)(i+1)}}+\frac{2017(n+1)}{n^{2018}}>0$.

Do đó PT $f_n(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

Ta thấy $f_n(1)=0$. 

Nên $x=1$ là nghiệm của pt.




#671905 MAX: $P=\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}+...

Gửi bởi Baoriven trong 17-02-2017 - 20:23

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a+b+c=3.$ Tìm GTLN của:

$P=\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}+\sqrt{c^2+c+4}$




#671573 $\left\{\begin{matrix}2x^3+9x^2+12x=y^3+3y^2+4y+15 \...

Gửi bởi Baoriven trong 14-02-2017 - 07:54

Đặt: $f(t)=2t^3+9t^2+12t; g(t)=t^3+3t^2+4t+15.$

Nhận thấy ngay $g(t)$ đồng biến do $g'(t)> 0.$

Giả sử $x=max[x;y;z].$

Dó đó: 

$\left\{\begin{matrix}g(x)\geq g(y) \\ g(x)\geq g(z) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x)\geq f(x) \\ f(z)\geq g(z) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x\leq 1 \\ z\geq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\leq 1\leq z$.

Do đó: $x=z=1$ do ta giả sử $x$ lớn nhất.

Từ đó có được $y=1$.

Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=1$.




#671572 GHPT: $3^{1+x-y}+3^{1-x+y}+8^{1+x-y}+8^...

Gửi bởi Baoriven trong 14-02-2017 - 07:19

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}3^{1+x-y}+3^{1-x+y}+8^{1+x-y}+8^{1-x+y}=11^{1+x-y}+11^{1-x+y} \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{3-y}=x^3+y^2-4y-1 \end{matrix}\right.$




#671534 GHPT: $\left\{\begin{matrix}x^3+y=2(x^2+1)...

Gửi bởi Baoriven trong 13-02-2017 - 21:12

Không cần thiết em.

Nếu $1$ trong $3$ số $x,y,z$ bằng $2$ thì suy ra $2$ giá trị còn lại bằng $2$.

Phần còn lại em giải đúng rồi. :) 




#671523 GHPT: $\left\{\begin{matrix}x^3+y=2(x^2+1)...

Gửi bởi Baoriven trong 13-02-2017 - 20:45

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^3+y=2(x^2+1) \\ 2y^3+z=2(2y^2+1) \\ 3z^3+x=2(3z^2+1) \end{matrix}\right.$




#671498 C/m $(2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3...

Gửi bởi Baoriven trong 13-02-2017 - 19:08

Xin chứng minh mà không dùng quy nạp. 

Đặt: $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$.

Ta có: $S_{n+2}=[(2+\sqrt{3})^{n+1}+(2-\sqrt{3})^{n+1}][(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})]-(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})[(2+\sqrt{3})^{n}+(2-\sqrt{3})^{n}]=4S_{n+1}-S_n$.




#671497 Giải phương trình : $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}...

Gửi bởi Baoriven trong 13-02-2017 - 19:03

Điều kiện xác đinh: $-1\leq x\leq 1$.

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left [ \sqrt{\left ( 1+x \right )^{3}}-\sqrt{\left ( 1-x \right )^{3}} \right ]=2+\sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )\left ( 2+\sqrt{1-x^{2}} \right )=2+\sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )=1$

Bình phương hai vế ta được:

$\left ( 1+\sqrt{1-x^{2}} \right )\left ( 2-2\sqrt{1-x^{2}} \right )=1$.

Đặt: $\sqrt{1-x^{2}}=t,(0\leq t\leq 1)$. 

$\left ( 1+t \right )\left ( 2-2t \right )=1$

$\Leftrightarrow t^{2}=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

 

P/S: Có thể giải bằng cách lượng giác hóa. 




#671384 Giải hpt $3y^{2}+1+2y(x+1)=4y\sqrt{x^{2}+2...

Gửi bởi Baoriven trong 12-02-2017 - 22:23

PT đầu tương đương: $(\sqrt{x^2+2y+1})^2-4y\sqrt{x^2+2y+1}+4y^2=x^2-2xy+y^2\Leftrightarrow |\sqrt{x^2+2y+1}-2y|=|x-y|$.

Tới đây xét đầy đủ 2TH là được rồi bạn. :) 




#671213 $\left\{\begin{matrix}2x^3+9x^2+12x=y^3+3y^2+4y+15 \...

Gửi bởi Baoriven trong 12-02-2017 - 07:50

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2x^3+9x^2+12x=y^3+3y^2+4y+15 \\ 2y^3+9y^2+12y=z^3+3z^2+4z+15 \\ 2z^3+9z^2+12z=x^3+3x^2+4x+15 \end{matrix}\right.$




#671145 $10^{y}= 81x+1$

Gửi bởi Baoriven trong 11-02-2017 - 20:21

Ta có: $10^y-1=81x$. hay $99...99=81x$ ($y$ chữ số $1$).

Nên $111....111$ chia hết cho $9$ ($y$ chữ số $1$).

Do đó $y=9k,k\in \mathbb{N}$.

Từ đó dễ dàng xác định $x$ theo $k$.




#671140 $8x^{2}-13x+7=(1+\frac{1}{x})\sq...

Gửi bởi Baoriven trong 11-02-2017 - 20:05

Cách khác cho bài 1:

PT ban đầu tương đương với: $(2x-1)^3-(x^2-x-1)=(x+1)\sqrt[3]{(x+1)(2x-1)+(x^2-x-1)}$.

Đặt: $u=2x-1;v=\sqrt[3]{3x^2-2}$, ta có hệ pt:

$\left\{\begin{matrix}u^3-(x^2-x-1)=(x+1)v \\ v^3-(x^2-x-1)=(x+1)u \end{matrix}\right.\Rightarrow (u-v)(u^2+uv+v^2+x+1)=0.$

Nếu $u=v$, thì $2x-1=\sqrt[3]{3x^2-2}\Leftrightarrow x=1;x=\frac{-1}{8}$.

Nếu $u^2+v^2+uv+x+1=0\Leftrightarrow 4(v+\frac{u}{2})^2+2(2x-1)^2+4x^2+5=0$.

PT này vô nghiệm.

Vậy pt có nghiệm $x=1;x=\frac{-1}{8}$.




#671128 GHPT: $\frac{x+\sqrt{x^2+y^2}}{x-...

Gửi bởi Baoriven trong 11-02-2017 - 19:31

Từ PT hai ta có: $\frac{6x}{6y}=\frac{5+3x}{6(5-y)}=\frac{9x+5}{30}\Rightarrow y=\frac{30x}{9x+5}.$

PT đầu viết lại:

$\frac{x+\sqrt{x^2+y^2}}{9x}=\frac{x-\sqrt{x^2+y^2}}{5}=\frac{2x}{9x+5}=\frac{y}{15}$

Suy ra: $\frac{x-\sqrt{x^2+y^2}}{5}=\frac{y}{15}\Leftrightarrow y=0;or;y=\frac{3}{5}x.$

Loại $y=0$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{5}x \\ y=\frac{30x}{9x+5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=5 \\ y=3 \end{matrix}\right.$