Đến nội dung


Baoriven

Đăng ký: 10-10-2015
Online Đăng nhập: Hôm nay, 21:42
****-

#681702 $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Gửi bởi Baoriven trong Hôm nay, 21:35

Khai triển ra, được BĐT cần chứng minh tương đương với: 

$a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)$

$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $a(a-b)(a-c) \ge b(a-b)(b-c)$ và $c(c-a)(c-b) \ge 0$ nên ta có đpcm.




#681193 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}...

Gửi bởi Baoriven trong 19-05-2017 - 20:35

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)+a,\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Trong trường hợp không có điều kiện liên tục vẫn giải được ?




#681034 $2x^3+2x^2+5x+2017=0$ và $2x^3-8x^2+15x-2026=0$.

Gửi bởi Baoriven trong 17-05-2017 - 20:06

Câu b:

Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là $2$ nghiệm của PT theo thứ tự viết trên.

Nếu bạn nào tinh ý có thể biến đổi tương đương $PT2$ thành

$2(1-x_2)^3+2(1-x_2)^2+5(1-x_2)+2017=0$

mà $PT1$ có nghiệm duy nhất nên $1-x_2=x_1$.

Do đó: $x_1+x_2=1$.




#681001 GHPT: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}...

Gửi bởi Baoriven trong 17-05-2017 - 15:47

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\;(1)\\ xyz\left ( x+y+z \right )\left ( x+1 \right )\left (y+1 \right )\left ( z+1 \right )=1296\;(2) \\ x,y,z> 0 \end{matrix}\right.$




#680994 Topic BẤT ĐẲNG THỨC ôn thi vào lớp 10 THPT 2017 - 2018

Gửi bởi Baoriven trong 17-05-2017 - 15:16

lời giải BÀI 74:

Ý tưởng tách VP ở bài 74 đã bại lộ nhờ VT

Đặt: $\frac{1}{x-1};b=\frac{x-1}{y};c=\frac{1}{y},a,b,c> 0$.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$a^3+b^3+c^3\geq 3(a+b+c)-6$.

Ta có: $a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{9}(a+b+c)^3$ (Dễ có nhờ $Holder$).

Do đó ta cần chứng minh: $\frac{1}{9}S^3\geq 3S-6$, với $S=a+b+c$.

Điều này dĩ nhiên đúng vì tương đương với: $(S-3)^2(S+6)\geq 0$. 

Vậy ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x=2;y=1$.




#680926 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}...

Gửi bởi Baoriven trong 16-05-2017 - 21:17

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x+1)-3f(x)=x^2+3^x,\forall x\in \mathbb{R}$




#680611 CMR: $\sum \sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC...

Gửi bởi Baoriven trong 14-05-2017 - 08:13

Giả sử $A,B,C$ là ba góc của một tam giác nhọn. 

Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC}}+\sqrt{\frac{cosBcosC}{cosA}}+\sqrt{\frac{cosCcosA}{cosB}}> 2$




#680567 GTLN & GTNN: $P=x^{y^z}$

Gửi bởi Baoriven trong 13-05-2017 - 21:25

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của biểu thức:

$P=x^{y^z}$

trong đó $x,y,z$ là các số nguyên lớn hơn $2$ và thỏa $x+y+z=20$.




#679606 GHPT: $\left\{\begin{matrix}3x^3-y^3=...

Gửi bởi Baoriven trong 05-05-2017 - 19:25

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}3x^3-y^3=\frac{1}{x+y} \\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$




#679530 CMR pt $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm $\in...

Gửi bởi Baoriven trong 04-05-2017 - 21:42

Cách anh trình bày trước đó vẫn còn nhiều khuyết điểm nên anh xin trình bày lại phát biểu và cách làm như sau.

BÀI TOÁN

Với mọi $m> 0$ và $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$ thì pt $ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

 

Xét $f(x)=\frac{a}{n+2}.x^{n+2}+\frac{b}{n+1}.x^{n+1}+\frac{c}{n}.x^n$

Ta có: $f(0)=f(1)=0$.

Ta lại có: $f'(x)=x^{n-1}(ax^2+bx+c)$.

$f$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và có đạo hàm trên $(0;1)$ và $f(0)=f(1)$ Nên $f'(x)$ có nghiệm trong khoảng $(0;1)$.




#679359 CMR pt $ax^{2}+bx+c=0$ luôn có nghiệm $\in...

Gửi bởi Baoriven trong 03-05-2017 - 18:58

Do yêu cầu đề bài cần chứng minh luôn có nghiệm trong $(0;1)$

Nên ta có thể nghĩ ngay tới xét tích $P=f(0).f(1)$ và chứng minh $P< 0$.

Ta có: $P=f(0).f(1)=c(a+b+c)$.

Thế $c=\frac{-2015a}{2017}+\frac{-2015b}{2016}$.

Rồi chứng minh $P< 0$ bằng cách biến đổi $P$ về dạng $P=-((ma+nb)^2+kb^2), k> 0$.

 

 




#679260 đề thi chọn đội tuyển hsg lớp 12 tỉnh bình dương

Gửi bởi Baoriven trong 02-05-2017 - 19:06

Câu 2:

Dễ nhận thấy $u_n> 0$.

Quy nạp để chứng minh $u_n< 1$. Giả sử đúng tới $n$, ta chứng minh đúng với $n+1$:

$u_{n+1}=\frac{1}{2017}u_n^2+\frac{2016}{2017}\sqrt{u_n}< 1\Leftrightarrow (\sqrt{u_n}-1)(\sqrt{u_n^3}+u_n+\sqrt{u_n}+2017)< 0$.

BĐT cuối đúng do điều giả sử.

Xét hiệu $2017(u_{n+1}-u_n)=u_n^2-2017u_n+2016\sqrt{u_n}=(\sqrt{u_n}-1)(u_n\sqrt{u_n}+u_n-2016)> 0$.

BĐT cuối đúng do $0< u_n< 1$.

Dãy tăng và bị chặn trên bởi $1$.

Đặt $lim(u_n)=L$.

$L$ là nghiệm của pt: $2017L=L^2+2016\sqrt{L}$.

Từ đó giải ra $L=1$.




#679028 CMR: $\frac{1}{x}+\frac{1}{...

Gửi bởi Baoriven trong 30-04-2017 - 15:27

Một lời giải khác.

Đặt $t=\sqrt[3]{xyz}$.

Từ giả thiết, ta có: $t\leq 3$.

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{3}{t}+\frac{3}{t^3}$.

Ta chứng minh: $\frac{3}{t}+\frac{3}{t^3}\geq \frac{10}{9}\Leftrightarrow (t-3)(10t^2+3t+9)\leq 0$.

BĐT cuối đúng do $t\leq 3$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=3$.




#678917 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Gửi bởi Baoriven trong 29-04-2017 - 14:57

Một lời giải khác.

Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.

$\sqrt{y}=\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2$.

$\sqrt{y-2x}=\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2$.

$y=(\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2$.

$y-2x=(\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2)^2$.

$x=\sqrt{\frac{\lambda}2}$.

$10((\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2-\sqrt{\frac{\lambda}2})=(\sqrt{\frac{\lambda}2})^4+9$.

Từ đó ta được: ${\lambda}^2-10 {\lambda}+16=0 \implies \lambda =8; 2$.

Suy ra: $x=2,y=\frac 92$ hoặc $x=1,y=2$.




#678849 CMR PT sau không có nghiệm nguyên: $ x^2-2y^2+8z=3$

Gửi bởi Baoriven trong 28-04-2017 - 20:46

Ta có: $x$ lẻ. Nên suy ra: $x^2-3 \equiv 6 \pmod{8}$.

$x$ lẻ nên: $x^2-3 \equiv 2 \pmod{4}$ do đó: $2y^2 \equiv 2 \pmod{4} \Leftrightarrow y$ là số lẻ.

Do đó: $2y^2+8z \equiv 2 \pmod{8}$ (vô lí).

Vậy pt ko có nghiệm nguyên.