Baoriven

Tách $x=6$ là dễ dàng. Chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm:

$$ \dfrac{x+10}{\sqrt{x+3}+3} = \dfrac{2.(4x-3)}{x^2+1}. $$

Nghiệm thì duy nhất và đồng biến. Chắc có bí ẩn đằng sau!

Mọi người có thể tham khảo thêm ở đây (Carnegie Mellon University): The Basel Problem - Numerous Proofs (cmu.edu) 

Ta sẽ thu được hàm sinh dạng: 

$$ G(t) = \dfrac{1}{(1-t)^n}, $$

và ta tìm hệ số của $t^{np-m}$ trong $G(t)$.

Có thể dùng hàm sinh nhé.

Nhân tử đa thức cho $x_i$ là: $1+t+\dots + t^7$. 

Ta được hàm sinh:

$$ G(x) = (1+t+\dots + t^7)^4 = [(1+x)(1+x^2)(1+x^4)]^4. $$

Mục tiêu là tìm hệ số của $x^{20}$ trong hàm sinh.

Có thể làm hai cách: $G(x) = \dfrac{(1-x^8)^4}{(1-x)^4}$ hoặc tìm thẳng từ hàm sinh ở trên luôn.

Kết quả là $\boxed{161}$ đúng nhá!  

=)) Đây, anh thuộc lớp cntn. Lớp CNTN đầu vào được nhà trường xếp nha em. Thường sẽ thuộc vào 3 nhóm sau:

1. Được tuyển thẳng, ưu tiên xét tuyển.

2. Điểm đầu vào thi THPT QG cao.

3. Điểm ĐGNL cao.

Cái 2 và 3 là lấy theo top, ngưỡng thì tuỳ năm (nói chung là cố gắng thi cao so với đề của năm em là ok)

Hoặc có thể học 1 kỳ ở lớp ngoài sau đó nộp đơn vào CNTN. 

Ghi chú: Nói chung là k có gì chắc chắn việc em có thể vào được lớp cntn từ đầu vào luôn (anh thì được ĐGNL điểm cao nên được vào luôn) do là khoa xét nha chứ không phải do học sinh. Đừng nặng việc đó quá. Còn việc lớp CNTN chỉ lấy 3 môn A00 thì anh k rõ Anh chỉ biết lấy theo 3 nhóm trên. 

Hẹn gặp em KHTN !

Tìm số nghiệm nguyên của phương trình sau $$\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4}=20$$ với $0 \leq \mathrm{x}_{\mathrm{i}}<8, \forall \mathrm{i} \in\{1,2,3,4\}$.

Ghi chú: Bài có thể tiếp cận bằng nhiều cách (hàm sinh, nguyên lý bù trừ, ...) 

@@ Nếu sử dụng hàm sinh thì nên để ở Đại học luôn. 

Bài $1$ khá là khoai đấy. Phải chia ra $x_i$ full không âm và $x_i$ full dương.

Nên thay $x_i$ là số tự nhiên (không âm hoặc dương) để các bạn nhỏ dễ tiếp cận...

Chắc là dùng hàm sinh mũ á!

Hàm sinh 

$$ g(x)=(\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots)^4 = (e^x-1-x)^4.$$

Chỉ cần tính $(e^x-1-x)^2= \dfrac{1}{4} x^{4}+\dfrac{1}{6} x^{5}+\dfrac{5}{72} x^{6}+\dfrac{1}{45} x^{7} + O(x^8)$.

Rồi lấy khúc đầu bình phương lên tiếp, được: 

$$ \frac{x^{14}}{2025}+\frac{x^{13}}{324}+\frac{317 x^{12}}{25920}+\frac{37 x^{11}}{1080}+\frac{x^{10}}{16}+\frac{x^{9}}{12}+\frac{x^{8}}{16}.$$

Kết quả sẽ là $11!$ nhân hệ số của  $x^{11}$ là: 

$$ 11!.\dfrac{37}{1080}=1367520. $$

Bài nài $0\leq a\leq 1$, nên có thể xem xét giải bằng lượng giác.

Đặt $a=\cos^2{x}$ hoặc $a=\sin^2{x}$.

P/S: Lâu rồi chưa làm nên vẫn còn mò mẫm.

Nếu $(x,y)$ thoả thì $(-x,-y)$ cũng thoả. Do đó xét $x\geq 0$.

$x=0; 1; 3$ thoả.

Khi $x$ càng lớn thì $y$ càng gần $x$ (check bằng máy tính thôi).

Tới đây bạn chặn trong khoảng là được. 

Tới một giá trị nào đó thì $x^3+63x\leq (x+1)^3$.

Đặt $y=mx, z=nx$.

Khi đó: $\left\{\begin{matrix} x^2(1-mn)=2 \\ x(m^2-n)=3 \\ x^2(n^2-m)=4 \end{matrix}\right.$.

Ta chỉ cần giải tìm $m,n$ bằng cách chia theo vế $(1)/(2)$ và $(2)/(3)$: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1-mn}{m^2-n}=\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{m^2-n}{n^2-m}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$

Biến đổi ta được hệ mới là: $\left\{\begin{matrix} 2m^2+3mn-2n-3=0 \\ 4m^2+3m-3n^2-4n=0 \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế ta được: $6m^2+3m(n+1)-3(n+1)^2=0\Rightarrow m=-(n+1) \text{ hoặc } m=\dfrac{1}{2}(n+1)$.

Thế lại vào $(1)/(3)$ ta được $n=\dfrac{-5}{4}$.

Suy ra $m=\dfrac{-1}{8}$.

Tới đây đã dễ dàng rồi.

P/S: Ở trên điều là hệ quả, để chắc ăn thì cần thử lại sau khi giải xong. Và ý tưởng đến từ việc VT của các PT đẳng cấp. 

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]

$30=2*3*5$.

Ta chỉ cần tạo ra các tập con nhỏ nhất mà chia hết $30$ là được. Ví dụ như muốn có tập $\{2,3,4,5\}$ thì ta chỉ cần $\{2,3,5\}$ hoặc $\{3,4,5\}$ là ok.

+ Tập có $3$ phần tử mà mỗi phần tử chia hết cho $1$ trong $3$ số $2,3,5$: $\{2,4,6,8\}$, $\{3,6,9\}$ và $\{5\}$.

+ Tập có $2$ phần tử, khi đó hiển nhiên có $10$ và $\{3,6,9\}$.

Tính số tập con của các TH trên nhân với số tập con tương ứng khi chọn các phần tử còn lại.

P/S: Nhớ lọc các TH giống nhau  

Sử dụng CS vẫn đúng mà đúng không ta ?

$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}\geq \dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}$.