Baoriven

Câu 4: Ta có:

$12x^2+12y^2+3z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{12}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}+\frac{z^2}{\frac{1}{3}}$

                               $\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{3}}=2(x+y+z)^2$

Suy ra: $A\geq 4(xy+yz+zx)=4$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=\frac{1}{3};z=\frac{4}{3}$

Câu 3: Ta có: $P=\frac{3}{4}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})+(\frac{b+c}{4a}+\frac{a}{b+c})+(\frac{c+a}{4b}+\frac{b}{c+a})+(\frac{a+b}{4c}+\frac{c}{a+b})$

                         $\geq \frac{3}{4}.6+1+1+1=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{(a+1)^3}+\frac{1}{(b+1)^3}+\frac{1}{(c+1)^3}\geq \frac{3}{4(1+abc)}$

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $ab+bc+ca>0$.

Tìm GTLN của: $A=\frac{12(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}-\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Giả thiết cho tương đương với: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Ta có: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+1-[\frac{1}{c}(a+b)+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})]$

                                                                             $\leq (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+1-2\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$

                                                                             $=[\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1]^2$

Suy ra: $\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1\geq 2\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 7$

khi đó dùng BĐT C-S ta có:

$P\geq [\sqrt{(a^3+b^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3})}+1]^2$

    $=[\sqrt{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-3)+2}+1]^2\geq 361$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq 1 \\ (7x^3-3x^2-2x-2)(1+x-x^2)\geq 0 \end{matrix}\right.$

TH1:

$\left\{\begin{matrix}7x^3-3x^2-2x-2\geq 0 \\ 1+x-x^2\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\leq x\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $x=1$ là nghiệm.

TH2:

$\left\{\begin{matrix}7x^3-3x^2-2x-2\leq 0 \\ 1+x-x^2\leq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\leq \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ không thỏa điều kiện x ban đầu.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

Lời giải tìm x,y nguyên.

Đặt: $S=x+y;P=xy$

S,P nguyên

Suy ra từ giả thiết: $S=\frac{3+P}{P^2+1}$

Do S nguyên nên: $P^2+1\leq P+3\Leftrightarrow -1\leq P\leq 2$

Thử từng giá trị P là ra rồi.

P/S: Việc chứng minh: $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^3$ bạn có thể tham khảo trên mạng hoặc tự chứng minh = quy nạp cũng được 

Lời giải câu tìm x tự nhiên.

Vấn đề nằm ở chỗ chứng minh: $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2$

Suy ra: $1+2+...+n=4950 \Rightarrow n=99$

Lời giải câu nghiệm nguyên: 

Biến đổi phương trình đã cho ta được: $(x+y)^2+(y-1)(y+4)=0$

Suy ra: $-4\leq y\leq 1$

Vì $(x+y)^2$ là số chính phương nên ta chỉ chọn y thỏa mãn.

ta được $y=-4;-3;0;1$ suy ra tiếp x

Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng:

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\sqrt[4]{\frac{x^4+y^4+z^4}{3}}$

a) Ta có: $(x+1)[x^2-2mx+(m+2)]=0$

Do có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình $x^2-2mx+(m+2)=0$ không có nghiệm $x=-1$ và có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm âm

Suy ra giải hệ: $\left\{\begin{matrix}P=m+2< 0 \\ 1-2m(-1)+m+2\neq 0 \end{matrix}\right.$

Đi kì này khá đông người nổi tiếng. http://diendantoanho...toán-học-2016/ 

Xem cái thông báo của link thì với dân Chuyên Toán cũng thèm đi lắm rồi

Vecto này nằm trên BC thì dĩ nhiên cùng phương với vecto BC rồi em.

Theo anh biết chuyên Toán mới đi em. Cái đó thì đăng ký với trường hoặc Trường chọn những học sinh giỏi Toán để đi

Là một cuộc tập huấn được các nhà toán học ở VN giảng dạy.

Năm nay có 2 cuộc. Cái đầu là Đồng Nai, Cái thứ 2 là Bình Phước 

P/S: hai em ko chung lớp trong trường PTNK hả